《2025年名校课堂八年级数学上册华师大版》

3. 如图，已知C为射线AD上一点，∠A=∠B，PA=PB，AP与BC相交于点M。若∠APB=2∠CPA，求证：BM=AC+CM。

答案：
证明：在BC上截取BG=AC，连结PG。
在△ACP和△BGP中，AP=BP，∠A=∠B，AC=BG，
∴△ACP≌△BGP(SAS)。
∴∠CPA=∠GPB，PC=PG。
∵∠APB=2∠CPA，
∴∠APB=2∠GPB。
又
∵∠APB=∠GPB+∠GPA，
∴∠GPA=∠GPB=∠CPA。
在△CPM和△GPM中，PC=PG，∠CPM=∠GPM，PM=PM，
∴△CPM≌△GPM(SAS)。
∴CM=GM。
∴BM=BG+GM=AC+CM。

4. 【问题背景】如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=60°，试探究图中线段BE，EF，DF之间的数量关系。
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE，连结AG。先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；

【探索延伸】如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=1/2∠BAD，则上述结论是否仍然成立，并说明理由。

答案：
EF=BE+DF
@@解：【探索延伸】上述结论仍然成立。理由如下：延长FD到点G，使DG=BE，连结AG。
∵∠ABE+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，
∴∠ABE=∠ADG。在△ABE和△ADG中，BE=DG，∠ABE=∠ADG，AB=AD，
∴△ABE≌△ADG(SAS)。
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG。
∵∠EAF=1/2∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF。
∴∠EAF=∠GAF。在△AEF和△AGF中，AE=AG，∠EAF=∠GAF，AF=AF，
∴△AEF≌△AGF(SAS)。
∴EF=GF。
∵GF=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF。

5. 如图，已知CD=AB，∠BAD=∠BDA，AE是△ABD的中线。求证：AC=2AE。

答案：
证明：延长AE至点F，使AE=EF，连结BF。
∵AE是△ABD的中线，
∴BE=DE。
在△ADE和△FBE中，AE=FE，∠AED=∠FEB，DE=BE，
∴△ADE≌△FBE(SAS)。
∴BF=DA，∠FBE=∠ADE。
∵∠ABF=∠ABD+∠FBE，
∴∠ABF=∠ABD+∠ADB=∠ABD+∠BAD=∠ADC。
在△ABF和△CDA中，AB=CD，∠ABF=∠CDA，BF=DA，
∴△ABF≌△CDA(SAS)。
∴AC=AF。
∵AF=2AE，
∴AC=2AE。