《2025年名校课堂八年级数学上册华师大版》

11.对任意整数n，按下列程序计算，则输出结果为（ ）

A.n
B.$n^{2}$
C.2n
D.1

答案： D

12.如果$(4x^{2}-2x)÷2x=2x - 1$，且x为正整数，我们称多项式$4x^{2}-2x$能被$2x$整除.已知多项式$4x^{3}-2x^{2}-2x + k$能被$2x$整除，则常数k只能为0.

答案： 0

13.先化简，再求值：
(1)（教材P48新增习题T5变式）$[(3x + y)(3x - y)+(2y + x)(y - 3x)]÷(3x - y)$，其中$x = 2,y = 1$；
(2)$[2(x - y)]^{2}-(12x^{3}y^{2}-18x^{2}y^{3})÷3xy^{2}$，其中$x=-3,y=-\frac{1}{2}$.

答案： （1）解：原式$=[(3x + y)(3x - y)-(2y + x)(3x - y)]÷(3x - y)=(3x + y)(3x - y)÷(3x - y)-(2y + x)(3x - y)÷(3x - y)=3x + y - 2y - x=2x - y$.当$x = 2,y = 1$时，原式$=2×2 - 1=4 - 1=3.$
（2）解：原式$=4x^{2}-8xy + 4y^{2}-4x^{2}+6xy=-2xy + 4y^{2}$.当$x=-3,y=-\frac{1}{2}$时，原式$=-2×(-3)×(-\frac{1}{2})+4×(-\frac{1}{2})^{2}=-3 + 1=-2.$

14.已知多项式$2x^{3}-4x^{2}+7x - 1$除以一个多项式M，得到商式$2x$，余式$x - 1$，求多项式M（提示：类比数的除法的运算法则，即被除数=除数×商+余数）.
解：由题意，得$M=[2x^{3}-4x^{2}+7x - 1-(x - 1)]÷2x=(2x^{3}-4x^{2}+6x)÷2x=x^{2}-2x + 3.$

答案： 解：由题意，得$M=[2x^{3}-4x^{2}+7x - 1-(x - 1)]÷2x=(2x^{3}-4x^{2}+6x)÷2x=x^{2}-2x + 3.$

15.如图1所示的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入如图2的杯子中，那么一共可装满多少个这样的杯子？（单位：cm）
解：依题意，得$[\pi(\frac{1}{2}a)^{2}h+\pi(\frac{1}{2}×2a)^{2}H]÷[\pi(\frac{1}{2}×\frac{1}{2}a)^{2}×8]=\frac{1}{2}h + 2H$.∴一共可装满$(\frac{1}{2}h + 2H)$个这样的杯子.

答案： 解：依题意，得$[\pi(\frac{1}{2}a)^{2}h+\pi(\frac{1}{2}×2a)^{2}H]÷[\pi(\frac{1}{2}×\frac{1}{2}a)^{2}×8]=\frac{1}{2}h + 2H$.
∴一共可装满$(\frac{1}{2}h + 2H)$个这样的杯子.

16.（2023·南阳月考改编）观察下列式子：
$(x^{2}-1)÷(x - 1)=x + 1$；
$(x^{3}-1)÷(x - 1)=x^{2}+x + 1$；
$(x^{4}-1)÷(x - 1)=x^{3}+x^{2}+x + 1$；
$(x^{5}-1)÷(x - 1)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x + 1$.
(1)根据以上式子，请直接写出$(x^{6}-1)÷(x - 1)=$ ；
(2)根据以上式子，请直接写出$(x^{n}-1)÷(x - 1)=$ （n为正整数）；
(3)计算：$1 + 2 + 2^{2}+2^{3}+2^{4}+\cdots+2^{2024}$.（结果可以用含有乘方的形式表示）

答案： $x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x + 1$; $x^{n - 1}+x^{n - 2}+\cdots+x + 1$; 解：原式$=(2^{2025}-1)÷(2 - 1)=2^{2025}-1.$