《2025年名校课堂八年级数学上册华师大版》

11.如图所示的是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆CD与支杆BC满足CD=BC且∠BCE=120°.若CD的长度为50 cm，则此时B，D两点之间的距离为（C）


A.40 cm
B.45 cm
C.50 cm
D.55 cm

答案： C

12.石家庄外国语校本经典题如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN//BC分别交AB，AC于点M，N，则△AMN的周长为（C）

A.4
B.6
C.7
D.8

答案： C

13.如图，在△ABC中，AB=4 cm，BC=6 cm，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移2 cm后得到△A′B′C′，连结A′C，则△A′B′C的周长是12 cm.

答案： 12 cm

14.北师大附属实验校本经典题如图1，已知在△ABC中，AB=AC，D为CA延长线上一点，且DE⊥BC交AB于点F.（1）求证：△ADF是等腰三角形；（2）如图2，在（1）的条件下，F为AB的中点.求证：DF=2FE.
证明：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵ED⊥BC，∴∠D+∠C=90°，∠B+∠BFE=90°.∴∠D=∠BFE.∵∠AFD=∠BFE，∴∠D=∠AFD.∴AD=AF.∴△ADF是等腰三角形.（2）过点A作AG⊥DE于点G.∵AD=AF，∴GF=$\frac{1}{2}$DF.∵AG⊥DE，BE⊥DE，∴∠AGF=∠BEF.∵F为AB的中点，∴AF=BF.在△AGF和△BEF中，$\begin{cases}∠AGF=∠BEF, \\∠AFG=∠BFE, \\AF=BF,\end{cases}$∴△AGF≌△BEF（AAS）.∴EF=FG.∴DF=2FE.

答案： 证明：（1）
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
∵ED⊥BC，
∴∠D+∠C=90°，∠B+∠BFE=90°.
∴∠D=∠BFE.
∵∠AFD=∠BFE，
∴∠D=∠AFD.
∴AD=AF.
∴△ADF是等腰三角形.（2）过点A作AG⊥DE于点G.
∵AD=AF，
∴GF=$\frac{1}{2}$DF.
∵AG⊥DE，BE⊥DE，
∴∠AGF=∠BEF.
∵F为AB的中点，
∴AF=BF.在△AGF和△BEF中，$\begin{cases}∠AGF=∠BEF, \\∠AFG=∠BFE, \\AF=BF,\end{cases}$
∴△AGF≌△BEF（AAS）.
∴EF=FG.
∴DF=2FE.

15.在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE=BD.（1）如图1，当E为AB的中点时，求证：EC=ED；（2）如图2，当E不是AB的中点时，过点E作EF//BC.求证：△AEF是等边三角形；（3）在（2）的条件下，EC与ED还相等吗？请说明理由.
解：（1）证明：在等边三角形ABC中，AB=BC=AC，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°.∵E是AB的中点，∴AE=BE，∠ECB=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°.∵AE=BD，∴BE=BD.∴∠EDB=∠DEB=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°.∴∠EDB=∠ECB.∴EC=ED.（2）证明：∵EF//BC，∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°.∴△AEF是等边三角形.（3）EC=ED.理由：∵∠AEF=∠ABC=60°，∴∠EFC=∠DBE=120°.∵AB=AC，AE=AF，∴AB-AE=AC-AF，即BE=FC，在△DBE和△EFC中，$\begin{cases}DB=EF, \\∠DBE=∠EFC, \\BE=FC,\end{cases}$∴△DBE≌△EFC（SAS）.∴ED=EC.

答案： 解：（1）证明：在等边三角形ABC中，AB=BC=AC，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°.
∵E是AB的中点，
∴AE=BE，∠ECB=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°.
∵AE=BD，
∴BE=BD.
∴∠EDB=∠DEB=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°.
∴∠EDB=∠ECB.
∴EC=ED.（2）证明：
∵EF//BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°.
∴△AEF是等边三角形.（3）EC=ED.理由：
∵∠AEF=∠ABC=60°，
∴∠EFC=∠DBE=120°.
∵AB=AC，AE=AF，
∴AB-AE=AC-AF，即BE=FC，在△DBE和△EFC中，$\begin{cases}DB=EF, \\∠DBE=∠EFC, \\BE=FC,\end{cases}$
∴△DBE≌△EFC（SAS）.
∴ED=EC.