《2025年名校课堂八年级数学上册华师大版》

1. 如图，点A,B,D,E在同一条直线上，AB=DE，AC//DF，BC//EF. 求证：BC=EF.

证明：∵AC//DF，BC//EF，
∴∠A=∠FDE，∠CBA=∠E.
在△ABC和△DEF中，
∠CBA=∠E，
AB=DE，
∠A=∠FDE，
∴△ABC≌△DEF(ASA).
∴BC=EF.

答案： 证明：
∵AC//DF，BC//EF，
∴∠A=∠FDE，∠CBA=∠E.
在△ABC和△DEF中，
∠CBA=∠E，
AB=DE，
∠A=∠FDE，
∴△ABC≌△DEF(ASA).
∴BC=EF.

2. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，E为AC上的一点. 求证：
(1)AC平分∠DAB；
(2)BE=DE.

证明：(1)在△ADC和△ABC中，
AB=AD，
AC=AC，
BC=DC，
∴△ADC≌△ABC(SSS).
∴∠BAE=∠DAE.
∴AC平分∠DAB.
(2)在△ABE和△ADE中，
AB=AD，
∠BAE=∠DAE，
AE=AE，
∴△ABE≌△ADE(SAS).
∴BE=DE.

答案： 证明：
(1)在△ADC和△ABC中，
AB=AD，
AC=AC，
BC=DC，
∴△ADC≌△ABC(SSS).
∴∠BAE=∠DAE.
∴AC平分∠DAB.
(2)在△ABE和△ADE中，
AB=AD，
∠BAE=∠DAE，
AE=AE，
∴△ABE≌△ADE(SAS).
∴BE=DE.

3. 如图，线段AD是△ABC的中线，分别过点B,C作AD所在直线的垂线，垂足分别为E,F.
(1)请问△BDE与△CDF全等吗？说明理由；
(2)若△ACF的面积为10，△CDF的面积为6，则△ABE的面积为22.

解：△BDE≌△CDF. 理由如下：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD.
∵BE⊥AE，CF⊥AE，
∴∠BED=∠CFD=90°.
在△BDE和△CDF中，
∠BED=∠CFD，
∠BDE=∠CDF，
BD=CD，
∴△BDE≌△CDF(AAS).

答案： 22; 解：△BDE≌△CDF. 理由如下：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD.
∵BE⊥AE，CF⊥AE，
∴∠BED=∠CFD=90°.
在△BDE和△CDF中，
∠BED=∠CFD，
∠BDE=∠CDF，
BD=CD，
∴△BDE≌△CDF(AAS).

4. 已知在△ABC和△CDE中，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AE与BD相交于点F.
(1)如图1，当α=90°时，求证：
①△ACE≌△BCD；
②AE⊥BD；
(2)如图2，当α=60°时，∠AFB的度数为60°；
(3)∠AFB的度数为α.（用含α的式子表示）
证明：①∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE，
即∠ACE=∠BCD.
在△ACE和△BCD中，
AC=BC，
∠ACE=∠BCD，
CE=CD，
∴△ACE≌△BCD(SAS).
②∵△ACE≌△BCD，∴∠CAE=∠CBD.
∵∠CAE+∠EAB+∠ABC=90°，
∴∠CBD+∠EAB+∠ABC=90°.
∴∠AFB=90°. ∴AE⊥BD.

答案： 60°; α; 证明：①
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE，
即∠ACE=∠BCD.
在△ACE和△BCD中，
AC=BC，
∠ACE=∠BCD，
CE=CD，
∴△ACE≌△BCD(SAS).
②
∵△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBD.
∵∠CAE+∠EAB+∠ABC=90°，
∴∠CBD+∠EAB+∠ABC=90°.
∴∠AFB=90°.
∴AE⊥BD.