《2025年名校课堂八年级数学上册华师大版》

4.如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D.求证：BC＝CD＋AB.

答案：
证明：(方法一：截长法)在BC上取点E，使BE＝BA，连结DE.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠EBD.在△ABD和△EBD中，$\begin{cases}AB＝EB, \\∠ABD＝∠EBD, \\BD＝BD,\end{cases}$
∴△ABD≌△EBD(SAS).
∴∠BAC＝∠BED＝108°.
∴∠DEC＝72°.
∵AB＝AC，∠BAC＝108°，
∴∠C＝∠ABC＝36°.
∴∠CDE＝72°.
∴∠CDE＝∠CED.
∴CD＝CE.
∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD.(方法二：补短法)延长BA至点F，使BF＝BC，连结DF.
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠FBD.在△FBD和△CBD中，$\begin{cases}FB＝CB, \\∠FBD＝∠CBD, \\BD＝BD,\end{cases}$
∴△FBD≌△CBD(SAS).
∴DF＝DC，∠F＝∠C.
∵AB＝AC，∠BAC＝108°，
∴∠C＝∠ABC＝36°，∠FAD＝72°.
∴∠F＝36°.
∴∠FDA＝72°.
∴∠FDA＝∠FAD.
∴FA＝FD.
∴CD＝DF＝AF.
∴BC＝BF＝AB＋AF＝AB＋CD.

5.如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD⊥BC，垂足为D.若BD＝2，CD＝8，求AB的长(用两种不同方法).

答案：
解：(方法一：内构等腰三角形)在CD上截取DE＝BD＝2，连结AE.
∵AD⊥BC，
∴AB＝AE.
∴∠AEB＝∠ABC＝2∠C.
∵∠AEB＝∠C＋∠EAC，
∴∠C＝∠EAC.
∴AE＝EC＝CD - DE＝6.
∴AB＝6.(方法二：外构等腰三角形)延长DB至点F，使得BF＝AB，连结AF，则∠F＝∠BAF.
∴∠ABC＝∠F＋∠BAF＝2∠F.
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠F＝∠C.
∴AF＝AC.
∵AD⊥FC，
∴FD＝DC＝8.
∵BD＝2，
∴FB＝FD - BD＝6.
∴AB＝FB＝6.