《2025年名校课堂八年级数学上册华师大版》

3.试说明：代数式(−a+3)(a+3)−a(1−a)+a的值与a的取值无关.

答案： 解:原式=9−a²−a+a²+a =9.
∵计算结果中不含字母a，
∴代数式(−a+3)(a+3)−a(1−a)+a的值与a的取值无关.

4.化简：$(x−y)^2+(x+y)(x−y)−5x(x−y).$
(1)若x是任意整数，请观察化简后的结果，它能被3整除吗？
(2)当$(x−1)^2+$|y+2|=0时，求代数式的值.

答案： 解:
(1)原式=x²−2xy+y²+x²−y²−5x²+5xy =−3x²+3xy.
∵−3x²+3xy是3的倍数，
∴它能被3整除.
(2)
∵$(x−1)^2+$|y+2|=0，
∴x−1=0，y+2=0.
∴x=1，y=−2. 当x=1，y=−2时，原式=−3×1²+3×1×(−2)=−3−6=−9.

5.已知关于x，y的方程组$\begin{cases}x−y=2a+1,① \\x+2y=5a−5,② \end{cases}$其中a是实数.
(1)请用含a的代数式分别表示x，y；
(2)若x，y满足2^x⋅8^y=32，求$(a−3)^{2025}$的值；
(3)试说明：不论a取何实数，$(x−3y)^2−5$的值始终不变.

答案： 解:
(1)①×2+②，得3x=9a−3，解得x=3a−1. 将x=3a−1代入①，得3a−1−y=2a+1，解得y=a−2.
∴$\begin{cases}x=3a−1, \\y=a−2. \end{cases}$
(2)
∵2^x⋅8^y=32，
∴$2^x⋅(2^3)^y=32. $
∴$2^{x+3y}=2^5. $
∴x+3y=5. 将
(1)中结果代入，得3a−1+3(a−2)=5，解得a=2.
∴$(a−3)^{2025}=(2−3)^{2025}=(−1)^{2025}=−1.$
(3)
∵$(x−3y)^2−5=[3a−1−3(a−2)]^2−5=5^2−5=25−5=20，$
∴不论a取何实数，$(x−3y)^2−5$的值始终不变.

6.(2023·南阳卧龙区期中)【发现】任意五个连续整数的平方和是5的倍数.
【验证】
$(1)(−1)^2+0^2+1^2+2^2+3^2$的结果是5的几倍？
(2)设五个连续整数的中间一个数为n，求出它们的平方和，并说明是5的倍数.
【延伸】
(3)任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2.

答案： 2
解$:(1)(−1)^2+0^2+1^2+2^2+3^2=1+0+1+4+9=15，$15÷5=3，即$(−1)^2+0^2+1^2+2^2+3^2$的结果是5的3倍.
(2)设五个连续整数的中间一个数为n，则其余的4个整数分别是n−2，n−1，n+1，n+2. 它们的平方和：$(n−2)^2+(n−1)^2+n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=n²−4n+4+n²−2n+1+n²+n²+2n+1+n²+4n+4=5n²+10=5(n²+2). $
∵n是整数，
∴n²+2是整数.
∴5(n²+2)是5的倍数.
∴五个连续整数的平方和是5的倍数.