《2025年初中同步学习导与练导学探究案八年级数学上册人教版》

1. (1)如图所示是 2025 年 11 月的月历,一个方框圈出了四个数,我们作如下计算：$4×12= 48,5×11= 55,55-48= 7$. 请你用一个方框另外圈出 4 个数,按相同方法计算,你有什么发现?

(2)请用整式的运算证明(1)中的规律(提示：可设最小的一个数是$n$). 你还能发现对角线上的这两对 数有其他规律吗?

答案： 1.解:
(1)(答案不唯一)圈出的是20，21,27,28四个数.
20×28=560,21×27=567,567-560=7.
发现对角线上的两数的积中,较大的积与较小的积差为7.
(2)设这四个数中最小的一个数是n,则另外三个数分别为n+1,n+7,n+8,
则(n+1)(n+7)-n(n+8)=(n²+8n+7)-(n²+8n)=7.
还发现的规律有(答案不唯一):对角线上的两数的和相等;对角线上的两数的平方相差14.

2. (1)计算下列两组乘法算式的结果(每组算式中两个因数的和为定值),你发现结果有什么规律?
①$30×30,35×25,43×17,52×8;$
②$50×50,53×47,74×26,91×9.$
(2)若两数的和为定值$2n$,你能用整式的运算说明(1)中的这一规律吗?
(3)请用(2)中发现的规律解决问题:用 10 m 长的绳子围成一个长方形,长方形的最大面积是多少? 此时长方形的两条邻边长有什么关系? 你能得出更一般的结论吗?

答案： 2.解:
(1)①30×30=900,35×25=875,43×17=731,52×8=416;
②50×50=2500,53×47=2491,74×26=1924,91×9=819.
我发现,和为定值的两数相差越小,它们的积越大;反之,和为定值的两数相差越大,它们的积越小.
(2)
∵两数的和为定值2n,
∴设其中三组数分别为n和n,n+1和n-1,n+2和n-2,则n-n=0,(n+1)-(n-1)=2,(n+2)-(n-2)=4;
n·n=n²,(n+1)(n-1)=n²-1,(n+2)(n-2)=n²-4.
∵0＜2＜4,但n²＞n²-1＞n²-4.
∴和为定值的两数相差越小,它们的积越大;反之,和为定值的两数相差越大,它们的积越小.
(3)长方形的最大面积是6.25m²,此时长方形的两条邻边长相等.由此得出结论:用定长的绳子围成一个长方形,当它是正方形时面积最大.