《2025年初中同步学习导与练导学探究案八年级数学上册人教版》

1. 如图所示,在△ABC中,∠BAC= 2∠B,在AB上取AE= AC,连接CE,作AD⊥CE于点D,交BC于点F。设∠B= α。
(1) 用含α的代数式表示∠AEC为______,当∠BCE= 30°时,α= ______°；
(2) 判断BC与AD的数量关系,并说明理由。

答案：
1. 解:
(1)$90^{\circ }-\alpha $,30.
(2)$BC=2AD$.理由如下:如图所示,过点 C 作$CG// AB$交 AD 的延长线于点 G,

$\therefore ∠BCG=∠B=\alpha .$
由
(1)得$∠BAF=∠CAF,$
$\therefore ∠BAF=∠CAF=∠G=\alpha .$
$\therefore ∠BAF=∠CAG=∠B=∠BCG=∠G=\alpha ,$
$\therefore CA=CG,FA=FB,FC=FG,$
$\therefore AG=AF+FG=BF+CF=BC.$
在$\triangle ACG$中,$CA=CG,AG⊥CD,$
$\therefore AD=DG$,即$AG=2AD,$
$\therefore BC=2AD.$

2. 如图所示,在等边三角形ABC中,点M为AB边上任意一点,延长BC至点N,使CN= AM,连接MN交AC于点P,MH⊥AC于点H。求证：MP= NP。

答案：
2. 证明:如图所示,过点 M 作$MQ// BC$,交 AC 于点 Q.

在等边三角形 ABC 中,$∠A=∠B=∠ACB=60^{\circ }.$
$\because MQ// BC,$
$\therefore ∠AMQ=∠B=60^{\circ },$
$∠AQM=∠ACB=60^{\circ },$
$∠QMP=∠N,∠MQP=∠PCN.$
$\therefore \triangle AMQ$是等边三角形.
$\therefore AM=QM.$
$\because AM=CN,\therefore QM=CN.$
$\therefore \triangle QMP\cong \triangle CNP.$
$\therefore MP=NP.$