《2025年初中同步学习导与练导学探究案八年级数学上册人教版》

5. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$BD平分\angle ABC交AC于点D$,点$E$,$F分别是BD$,$BC$上的动点。若$AB = 10$,$S_{\triangle ABC} = 30$,求$CE + EF$的最小值。

答案：
解:如图所示，在AB上截取BM=BF,连接EM,作CH⊥AB于H.

∵BD平分∠ABC,
∴∠MBE=∠FBE.
又
∵BM=BF,BE=BE,
∴△BME≌△BFE(SAS).
∴ME=FE,
∴CE+EF=CE+ME,
∴当C,E,M三点共线,并且CM ⊥AB时,CE+EF最小,等于CH 的长.
∵AB=10,S△ABC=30,
∴CH=6.
∴CE十EF的最小值为6.

6. 如图所示,$A$为马厩,$B$为帐篷,牧马人某天要从马厩牵出马,先到草地边的某一处牧马,再到河边饮马,然后回到帐篷,请你帮他确定这一天的最短路线。(作出图形并说明理由)

答案：
解:如图①所示,AC−CD−DB是最短的路线.


理由:如图②所示,在ON上任意取一点T(不与点C重合),在OM 上任意取一点R(不与点D重合)，连接FR,BR,RT,ET,AT.
∵点A,E关于ON对称，
∴AC=EC.
同理BD=FD,FR=BR,AT=ET,
∴AC+CD+DB=EC+CD+FD=EF,
AT+TR+BR=ET+TR+FR.
∵ET+TR+FR＞EF,
∴AC+CD+DB＜AT+TR+BR,
即AC−CD−DB是最短的路线.

7. 如图所示,直线$l_{1}// l_{2}$,$A$,$B$为两定点,$M$,$N分别在直线l_{1}$,$l_{2}$上,且$MN \perp l_{2}$,请确定$M$,$N$的位置,使$AM + MN + BN$最小。

答案：
解:如图所示,过A作AA₁⊥l₁,且AA₁=MN,连接A₁B交l₂于N,过N作MN⊥l₂交l₁于M,连接AM,则AM+MN+BN最小.