《2025年初中同步学习导与练导学探究案八年级数学上册人教版》

1. 如图所示,$\triangle ABD和\triangle ACE$都是等腰直角三角形,且$\angle DAB= \angle EAC = 90^{\circ}$,$CD与BE交于点O$.
求证：(1)$BE = CD$；
(2)$BE\perp CD$.

答案： 证明:
(1)在△ABD 和△ACE 中,
AB=AD,AC=AE,∠BAD=
∠CAE=90°,
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+
∠BAC,
即∠CAD=∠BAE.
在△ABE 和△ADC 中,
AB=AD,
∠BAE=∠DAC,
AE=AC,
∴△ABE≌△ADC(SAS),
∴BE=CD.
(2)设 CA,BE 交于点 N(图略).
∵△ABE≌△ADC,
∴∠ACD=∠AEB.
∵∠ANE=
∠CNO,∠ANE+∠NAE+
∠AEN=180°,∠ONC+
∠NOC+∠OCN=180°,
∴∠NOC=∠NAE=90°,
∴BE⊥CD.

2. 如图所示,分别以$\triangle ABC的两边AB$,$AC为边向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE$,$DC$,$BE相交于点O$.
(1)求$\angle BOC$的度数；
(2)$\angle BAC$的度数发生变化时,$\angle BOC$的度数是否变化？若不变化,请求出$\angle BOC$的度数；若发生变化,请说明理由.

答案： 解:
(1)
∵△ADB 和△AEC 都是等边三角形,
∴∠DAB=∠EAC=60°,AD=
AB,AE=AC.
∴∠DAC=∠BAE.
在△DAC 和△BAE 中,
∵AD=AB,∠DAC=∠BAE,
AC=AE,
∴△DAC≌△BAE(SAS).
∴∠ADC=∠ABE.
∴∠ODB+∠OBD=∠ADB-
∠ADC+∠ABD+∠ABE=
∠ADB+∠ABD=120°.
∴∠BOC=∠ODB+∠OBD=120°.
(2)不变化,为120°.
∵由
(1)可得∠BOC=∠ODB+
∠OBD=∠ADB+∠ABD=120°.
∴∠BOC 和∠BAC 的大小无关.

3. 如图所示,在平面直角坐标系中,点$A的坐标为(1,0)$,以线段$OA为边在第四象限内作等边三角形AOB$,点$C为x轴正半轴上一动点(OC＞1)$,连接$BC$,以线段$BC为边在第四象限内作等边三角形CBD$,连接$DA$并延长,交$y轴于点E$.
(1)$\triangle OBC与\triangle ABD$全等吗？判断并证明你的结论；
(2)当点$C$运动到什么位置时,以$A$,$E$,$C$为顶点的三角形是等腰三角形？

答案： 解:
(1)△OBC≌△ABD.
证明:
∵△AOB,△CBD 都是等边三角形,
∴OB=AB,CB=DB,∠ABO=
∠DBC,
∴∠OBC=∠ABD.
在△OBC 和△ABD 中,
OB=AB,
∠OBC=∠ABD,
CB=DB,
∴△OBC≌△ABD(SAS).
(2)由
(1)可得△OBC≌△ABD,
∴∠BOC=∠BAD=60°.
又
∵∠OAB=60°,
∴∠OAE=180°-60°-60°=60°,
∴∠EAC=120°,∠OEA=30°,
∴以 A,E,C 为顶点的三角形是等腰三角形时,AE 和 AC 是腰.
∵在 Rt△AOE 中,OA=1,
∠OEA=30°,
∴AE=2,
∴AC=AE=2,
∴OC=1+2=3,
∴当点 C 的坐标为(3,0)时,以 A,E,
C 为顶点的三角形是等腰三角形.