《2025年初中同步学习导与练导学探究案八年级数学上册人教版》

1. 如图所示,$\triangle ABC$是等边三角形,点$D在AC$边上,$\angle DBC = 35^{\circ}$,则$\angle ADB$的度数为(D)

A.$25^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$85^{\circ}$
D.$95^{\circ}$

答案： D

2. (2025成都期末)如图所示,在等边三角形$ABC$中,$BD平分\angle ABC$,点$E是BC$延长线上一点,且$CE = CD$,连接$DE$,则$\angle BDE$的度数为(C)

A.$90^{\circ}$
B.$100^{\circ}$
C.$120^{\circ}$
D.$150^{\circ}$

答案： C

3. 如图所示,$\triangle ABC$是等边三角形,$AD$是角平分线,$\triangle ADE$是等边三角形,有下列结论：①$AD\perp BC$；②$EF = FD$；③$BE = BD$。其中正确的有(A)

A.3个
B.2个
C.1个
D.0个

答案： A

4. 如图所示,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$\triangle CAP和\triangle CBQ$都是等边三角形,$BQ和CP交于点H$,求证：$BQ\perp CP$。

答案： 证明:
∵△CAP和△CBQ都是等边三角形,
∴∠ACP=∠CBQ=60°.
∵∠ACB=90°,
∴∠BCP=∠ACB - ∠ACP=30°.在△BCH中,∠BHC=180° - ∠BCH - ∠CBH=180° - 30° - 60°=90°,
∴BQ⊥CP.

5. 下列三角形：①有两个角等于$60^{\circ}$的三角形；②一条角平分线恰好是对边上的高的三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形。其中是等边三角形的有(B)
A.①②③
B.①③④
C.①③
D.①②③④

答案： B

6. 如图所示,等边三角形纸片$ABC$的边长为6,$E$,$F是边BC$的三等分点。分别过点$E$,$F沿着平行于BA$,$CA$方向各剪一刀,则剪下的$\triangle DEF$的周长是6。

答案： 6

7. 货轮在海上以每小时6n mile的速度沿南偏东$40^{\circ}$的方向航行,已知货轮在$B$处时,测得灯塔$A在其北偏东80^{\circ}$的方向上,航行半小时后货轮到达$C$处,此时测得灯塔$A在其北偏东20^{\circ}$的方向上,求货轮到达$C处时与灯塔A$的距离。

答案：
解:如图所示,
∵CD//BE,
∴∠1=∠EBC=40°.
∴∠BCA=∠1+∠DCA=60°.又
∵∠ABC=180° - 40° - 80°=60°,
∴△ABC是等边三角形.
∴AC=BC=$\frac{1}{2}$×6=3(n mile).答:货轮到达C处时与灯塔A的距离为3 n mile.