《2025年初中同步学习导与练导学探究案八年级数学上册人教版》

8. 如图所示,在等边三角形$ABC$中,点$D$,$E分别在边BC$,$AB$上,且$BD = AE$,$AD与CE交于点F$,则$\angle DFC$的度数为(A)

A.$60^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$40^{\circ}$
D.$30^{\circ}$

答案： A

9. 已知点$P是等边三角形ABC的边BC$上的一点,若$\angle APC = 104^{\circ}$,则在以线段$AP$,$BP$,$CP$为边的三角形中,最小内角的大小为(B)
A.$14^{\circ}$
B.$16^{\circ}$
C.$24^{\circ}$
D.$26^{\circ}$

答案： B

10. 如图所示,$\triangle ABC$为等边三角形,点$D是BC边上异于B$,$C$的任意一点,$DE\perp AB于点E$,$DF\perp AC于点F$。若$BC边上的高AM = 10$,则$DE + DF = $10。

答案： 10

11. 如图所示,已知$\triangle ABC$为等边三角形,$D为BC$延长线上的一点,$CE平分\angle ACD$,$CE = BD$,求证：$\triangle ADE$是等边三角形。

答案： 证明:
∵△ABC为等边三角形,
∴∠B=60°,∠ACB=60°,AB=AC.
∴∠ACD=120°.又
∵CE平分∠ACD,
∴∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACD=60°.
∴∠B=∠ACE.又
∵AB=AC,BD=CE,
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴∠BAD=∠CAE,AD=AE.
∴∠BAD - ∠CAD=∠CAE - ∠CAD,即∠EAD=∠BAC=60°.又
∵AD=AE,
∴△ADE是等边三角形.

12. (2024广元期中)如图所示,已知点$B$,$C$,$D$在同一条直线上,$\triangle ABC和\triangle CDE$都是等边三角形,$BE交AC于F$,$AD交CE于H$,连接$FH$。
求证：(1)$\triangle BCE\cong\triangle ACD$；

(2)$\triangle CHF$为等边三角形。

答案： 证明:
(1)
∵△ABC和△CDE都是等边三角形,
∴BC=AC,CE=CD,∠BCA=∠ECD=60°,
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE,即∠BCE=∠ACD.在△BCE和△ACD中,BC=AC,∠BCE=∠ACD,CE=CD,
∴△BCE≌△ACD(SAS).
(2)由
(1)知△BCE≌△ACD,则∠CBF=∠CAH.又
∵△ABC和△CDE都是等边三角形,且点B,C,D在同一条直线上,
∴∠ACH=180° - ∠ACB - ∠HCD=60°=∠BCF.在△BCF和△ACH中,∠CBE=∠CAH,BC=AC,∠BCF=∠ACH,
∴△BCF≌△ACH(ASA),
∴CF=CH.又
∵∠FCH=60°,
∴△CHF为等边三角形.