《2025年初中同步学习导与练导学探究案八年级数学上册人教版》

活动一 确定简单平面图形的重心位置
1. (1)通过悬挂实验,找出如图(1)(2)(3)所示的匀质薄板的重心位置. (用点 $ P $ 表示)
(2)通过查资料及(1)中的实验,确定如图(4)(5)(6)所示的平面图形的重心位置. (用点 $ P $ 表示)

答案：
1.解：
(1)每个匀质薄板通过两次悬挂即可，如图①②③所示



图③
(2)如图④⑤⑥所示：

活动二 确定平面组合图形的重心位置
2. 有一块如图所示的匀质薄板,通过画线将其分割成两部分,并找出各部分的重心位置(用点 $ P_1 $ 和 $ P_2 $ 表示),再通过实验,找到整块薄板的重心位置(用点 $ P $ 表示),连接重心 $ P_1 $, $ P_2 $ 得到一条线段,你有什么发现? 整块薄板的重心离哪部分的重心更近? 约是这条线段的几分之几? 请你再计算一下这两部分的面积及总面积,你有什么发现?

答案：
2.解：如图所示.

整块薄板的重心在线段$P_{1}P_{2}$上，离下半部分的重心更近，约为这条线段的$\frac{1}{4}$.上半部分的面积为$100\ cm^2$，下半部分的面积为$300\ cm^2$，总面积为$400\ cm^2$，整块薄板的重心位置与这两部分的面积有关，更靠近面积较大的这部分的重心位置.

3. 有如图所示的“L”形的平面图形,将它分割成两部分,找出这两部分的重心,然后作出平分这个图形面积的直线.

答案：
3.解：(答案不唯一)如图所示.

4. 若将平面直角坐标系中的组合图形分成 $ n $ 部分,每部分的重心坐标分别为 $ (x_1,y_1) $, $ (x_2,y_2),…,(x_n,y_n) $,每部分的面积分别为 $ S_1,S_2,…,S_n $,总面积为 $ S $,则该组合图形的重心坐标为 $ \left( \dfrac{S_1x_1 + S_2x_2 + … + S_nx_n}{S}, \dfrac{S_1y_1 + S_2y_2 + … + S_ny_n}{S} \right) $. 请用公式计算如图所示的组合图形的重心坐标.

答案：
4.解：将该组合图形分为上、下两部分，如图所示，则上部分的重心$P_{1}$的坐标为$(5,15)$，下部分的重心$P_{2}$的坐标为$(20,5)$.

∵上部分的面积为$10×10 = 100$，下部分的面积为$40×10 = 400$，
∴该组合图形重心的横坐标为$\frac{100×5 + 400×20}{500}=17$，纵坐标为$\frac{100×15 + 400×5}{500}=7$，
∴该组合图形的重心坐标为$(17,7)$.