《2025年初中同步学习导与练导学探究案八年级数学上册人教版》

1. 教材题变式 如图所示,在$\triangle ABC$中,$AE$,$BF$是角平分线,它们相交于点$O$.
(1)若$\angle C = 72^{\circ}$,求$\angle AOB$的度数；
(2)猜想$\angle AOB的度数与\angle C$的度数存在的数量关系,并说明理由.

答案： 1.解:
(1)
∵∠C=72°,
∴∠CAB+∠CBA=180°−72°=108°.
∵AE,BF是角平分线，
∴∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠BAO=$\frac{1}{2}$∠BAC,
∴∠AOB=180°−(∠ABO+∠BAO)=180°−$\frac{1}{2}$(∠CBA+∠CAB)=180°−54°=126°.
(2)∠AOB=90°+$\frac{1}{2}$∠C.
理由如下:
∵AE,BF是角平分线，
∴∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠BAO=$\frac{1}{2}$∠BAC,
∴∠AOB=180°−(∠ABO+∠BAO)=180°−$\frac{1}{2}$(∠CBA+∠CAB)=180°−$\frac{1}{2}$(180°−∠C)=180°−90°+$\frac{1}{2}$∠C=90°+$\frac{1}{2}$∠C.

2. 如图所示,$\triangle ABC的两个外角的平分线相交于点D$,若$\angle BDC = 65^{\circ}$,求$\angle A$的度数.

答案：
2.解:如图所示.

∵∠EBC=∠A+∠ACB,∠FCB=∠A+∠ABC,
∴∠EBC+∠FCB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A.
∵BD,CD分别平分∠EBC,∠FCB,
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠EBC,∠DCB=$\frac{1}{2}$∠FCB,
∴∠DBC+∠DCB=$\frac{1}{2}$∠EBC+$\frac{1}{2}$∠FCB=$\frac{1}{2}$(180°+∠A),
∴∠BDC=180°−(∠DBC+∠DCB)=180°−$\frac{1}{2}$(180°+∠A)=90°−$\frac{1}{2}$∠A.
∵∠BDC=65°,
∴65°=90°−$\frac{1}{2}$∠A,
解得∠A=50°.

3. (1)如图(1)所示,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC与\angle ACB的平分线相交于点D$,$BD与\angle ACF的平分线相交于点E$,写出$\angle A与\angle E$之间的数量关系,并证明.
<答案>3.解:
(1)∠E=$\frac{1}{2}$∠A.
证明如下:
∵∠A+∠ABC=∠ACF,∠E+∠CBE=∠ECF,
∴∠A=∠ACF−∠ABC,∠E=∠ECF−∠CBE.
∵CE平分∠ACF,BE平分∠ABC,
∴∠ECF=$\frac{1}{2}$∠ACF,∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC,
∴∠E=∠ECF−∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ACF−$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$(∠ACF−∠ABC),
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠A.
(2)$\frac{x}{2^{2025}}$

请严格按照以下步骤完成：
1. 将原题完整抄下来，严格保持所有内容都与原题一致。
2. 将答案精准填入题目的答题空里(如( )、____等，注意阅读材料或文章中的____不属于答题空，严禁填写)，并用包裹，如括号里填A表示为(A)，下划线上填××表示为××。
3. 选择题只填ABCD，不要填选项的具体内容，ABCD要填到题目本身自带的括号里。
4. 解答题需要将答案整体放到题目下面，用包裹。
5. 对于含有阅读材料文本的题目，答案只允许填在文章下面小题(或者带序号)的空里，禁止填在阅读材料里的____内。
6. 仅返回填入了答案后的完整题目，不要有其他任何多余的字，也不要重复题目。

答案： 3.解:
(1)∠E=$\frac{1}{2}$∠A.
证明如下:
∵∠A+∠ABC=∠ACF,∠E+∠CBE=∠ECF,
∴∠A=∠ACF−∠ABC,∠E=∠ECF−∠CBE.
∵CE平分∠ACF,BE平分∠ABC,
∴∠ECF=$\frac{1}{2}$∠ACF,∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC,
∴∠E=∠ECF−∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ACF−$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$(∠ACF−∠ABC),
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠A.
(2)$\frac{x}{2^{2025}}$