《2025年初中同步学习导与练导学探究案八年级数学上册人教版》

9. 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$50^{\circ}$,那么这个等腰三角形的顶角的度数为(D)
A.$20^{\circ}或70^{\circ}$
B.$40^{\circ}$
C.$140^{\circ}$
D.$40^{\circ}或140^{\circ}$

答案： D

10. 如图所示,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AD平分\angle BAC交BC于点D$,$BE平分\angle ABC交AC于点E$,$AD$,$BE相交于点F$,过点$D作DG// AB$,过点$B作BG\perp DG交DG于点G$. 有下列结论：$\angle AFB = 135^{\circ}$；②$\angle BDG = 2\angle CBE$；③$BC平分\angle ABG$；④$\angle BEC = \angle FBG$. 其中正确的是①②④(填序号).

答案： ①②④

11. 如图所示,已知直线$AB// CD$,直线$l与AB$,$CD分别相交于点E$,$F$,$EP平分\angle BEF$,$FH平分\angle DFE$,$EP与FH相交于点O$. 求证:$\triangle EOF$为直角三角形.

答案： 证明:
∵AB//CD，
∴∠BEF + ∠DFE = 180°.
∵EP 平分∠BEF，FH 平分∠DFE，
∴∠OEF = $\frac{1}{2}$∠BEF，∠OFE = $\frac{1}{2}$∠DFE，
∴∠OEF + ∠OFE = $\frac{1}{2}$∠BEF + $\frac{1}{2}$∠DFE = $\frac{1}{2}$(∠BEF + ∠DFE) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°，
∴△EOF 为直角三角形.

12. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$\angle A = \angle BCD$,$CD\perp AB于点D$,$BE平分\angle ABC分别交CD$,$CA于点F$,$E$.
求证:(1)$\triangle ABC$是直角三角形；
(2)$\angle CEF = \angle CFE$.

答案： 证明:
(1)
∵CD⊥AB，
∴∠ADC = 90°.
∴∠A + ∠ACD = 90°.
∵∠A = ∠BCD，
∴∠BCD + ∠ACD = 90°，
即∠ACB = 90°.
∴△ABC 是直角三角形.
(2)
∵BE 平分∠ABC，
∴∠ABE = ∠CBE.
∵∠CFE = ∠BFD = 90° - ∠DBF，∠CEF = 90° - ∠CBE，
∴∠CEF = ∠CFE.

13. 教材题延伸与拓展 (1)如图(1)所示,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$CD\perp AB于点D$. 图中有与$\angle A$相等的角吗? 为什么?
(2)如图(2)所示,把图(1)中的$CD平移到ED$处,图中还有与$\angle A$相等的角吗? 为什么?
(3)如图(3)所示,把图(1)中的$CD平移到ED$处,$ED交BC的延长线于点E$,图中还有与$\angle A$相等的角吗? 为什么?

答案： 解:
(1)有，∠A = ∠DCB.
理由如下:
∵∠ACB = 90°，
∴∠A + ∠B = 90°.
∵CD⊥AB，
∴∠BDC = 90°，
∴∠DCB + ∠B = 90°，
∴∠A = ∠DCB.
(2)有，∠A = ∠DEB.
理由如下:由题意，得 DE⊥AB，
∴∠DEB + ∠B = 90°.
∵∠ACB = 90°，
∴∠A + ∠B = 90°，
∴∠A = ∠DEB.
(3)有，∠A = ∠DEB.
理由如下:由题意，得 DE⊥AB，
∴∠DEB + ∠B = 90°.
∵∠ACB = 90°，
∴∠A + ∠B = 90°，
∴∠A = ∠DEB.