《2025年初中同步学习导与练导学探究案八年级数学上册人教版》

1. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,点$E在\triangle ABC$外,$CE\perp AE于点E$,$CE = \frac{1}{2}BC$。求证：$\angle ACE = \angle B$。

答案： 提示:过点A作AF⊥BC于点F.根据等腰三角形的性质得到∠E=∠AFB=90°.然后通过证明获得Rt△ABF≌Rt△ACE，∠ACE=∠B.

2. 如图所示,已知在等边三角形$ABC$中,$D是AC$的中点,$E是BC$延长线上的一点,且$CE = CD$,$DM\perp BC$,垂足为$M$。
(1)求$\angle E$的度数；
(2)求证：$M是BE$的中点。

答案：

(1)解:在等边三角形ABC中，∠ACB=60°.
∵CE=CD，
∴∠E=∠CDE=$\frac{1}{2}$∠ACB = 30°.
(2)证明:如图所示，连接BD.

∵在等边三角形ABC中，D是AC的中点，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×60° = 30°.
由
(1)知∠E = 30°，
∴∠DBC = ∠E = 30°.
∴DB = DE.
又
∵DM⊥BC，
∴M是BE的中点.

3. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle BAC = 120^{\circ}$,$D为BC$的中点,$DE\perp AC于点E$,$AE = 8$,求$CE$的长。

答案：
解:如图所示，连接AD.

∵AB = AC，∠BAC = 120°，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，∠B = ∠C = 30°，
∴∠DAC = $\frac{1}{2}$∠BAC = 60°.
∵DE⊥AC于E，
∴∠AED = 90°，
∴∠ADE = 30°.
在Rt△ADE中，AE = 8，∠ADE = 30°，
∴AD = 2AE = 16.
在Rt△ADC中，AD = 16，∠C = 30°，
∴AC = 2AD = 32，
则CE = AC - AE = 32 - 8 = 24.

4. (2025荔湾区校级期中)如图所示,在$\triangle ABC$中,$\angle A = \angle C = 15^{\circ}$,$AB = 5$,求$\triangle ABC$的面积。

答案：
解:如图所示，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D.

∵∠A = ∠BCA = 15°，AB = 5，
∴BC = AB = 5，
∠DBC = ∠A + ∠BCA = 30°，
∴CD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{5}{2}$，
∴△ABC的面积为$\frac{1}{2}$AB·CD = $\frac{1}{2}$×5×$\frac{5}{2}$ = $\frac{25}{4}$.