《2025年初中同步学习导与练导学探究案八年级数学上册人教版》

9. 某镇政府想在如图所示的地段修建一个农产品运输中转站,其中$l_1$,$l_2$,$l_3$为三条笔直且相互交叉的公路。若要求中转站到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有几处？请你把符合要求的地址在图中画出来。

答案：
9.解:如图所示，可供选择的地址有4处,分别为点P₁,P₂,P₃,P₄.
　　　

10. 如图所示,$AD = BD$,$\angle CAD + \angle CBD = 180^{\circ}$,求证：$CD平分\angle ACB$。

答案：
10.证明:如图所示，过点D作DE⊥CA于点E,DF⊥CB于点F,
　　　　
∴∠AED=∠BFD=90°.
∵∠CAD + ∠CBD = 180°,∠CAD + ∠EAD = 180°,
∴∠CBD = ∠EAD.
　　在△AED和△BFD中，
　　∠AED = ∠BFD,
　　∠EAD = ∠FBD,
　　AD = BD,
∴△AED≌△BFD(AAS).
∴DE = DF.
　　又
∵DF⊥CB,DE⊥CA,
∴点D在∠ACB的平分线上.
∴CD平分∠ACB.

11. (2025重庆垫江期末)如图所示,在$\triangle ABC与\triangle AED$中,$\angle E = \angle C$,$DE = BC$,$EA = CA$,过点$A作AF\perp DE$,垂足为$F$,$DE交CB的延长线于点G$,连接$AG$。
(1)求证：$GA平分\angle DGB$；
(2)若$S_{四边形DGBA} = 6$,$AF = \dfrac{3}{2}$,求$FG$的长。

答案：
11.
(1)证明:过点A作AH⊥BC于点H,如图所示.
　　　　
∵在△ABC与△ADE中,
　　BC = DE,
　　∠C = ∠E,
　　CA = EA,
∴△ABC≌△ADE(SAS),
∴S△ABC = S△AED.
∵AF⊥DE,AH⊥BC,
∴$\frac{1}{2}$DE·AF = $\frac{1}{2}$BC·AH,
∴AF = AH.
　　又
∵AF⊥DG,AH⊥GC,
∴GA平分∠DGB.
(2)解:
∵△ABC≌△ADE,
∴AD = AB.
　　又
∵AF⊥DE,AH⊥BC,AF = AH,
∴Rt△ADF≌Rt△ABH(HL),
∴S四边形DGBA = S四边形AFGH = 6.
∵AF = AH,AG = AG,
∴Rt△AFG≌Rt△AHG,
　　Rt△AFG的面积为3.
　　设AF = $\frac{3}{2}$,则$\frac{1}{2}$×FG×$\frac{3}{2}$ = 3,解得FG = 4.