《2025年初中同步学习导与练导学探究案八年级数学上册人教版》

10. 如图所示,在△ABC中,AB = BC,∠A = 30°,E是边AC上一点,连接BE并延长至点D,连接DC,若∠BCD = 120°,AB = 2DC,AE = 5,求CE的长。

答案：
10.解:如图所示，过点B作BM⊥AC,垂足为M,则∠BMC=90°.
　　　　
　　在△ABC中,AB=BC,∠A=30°,
∴∠A=∠ACB=30°,AM=CM,
∴BM=$\frac{1}{2}$AB.
∵AB=2CD,
∴BM=CD.
∵∠DCB=120°,
∴∠DCE=∠DCB−∠ACB=120°−30°=90°,
∴∠BMC=∠DCE=90°.
　　在△EMB和△ECD中,
　　$\left\{\begin{array}{l}∠BME=∠DCE,\\∠BEM=∠DEC,\\BM=DC,\end{array}\right.$
∴△MEB≌△CED(AAS),
∴ME=CE.
∵AE=5,
∴设CE=x,则ME=x,AM=AE−ME=5−x.
∵AM=CM,
∴5−x=2x,
∴x=$\frac{5}{3}$,
∴线段CE的长为$\frac{5}{3}$.

11. 分类讨论如图所示,△ABC是边长为6 cm的等边三角形,动点P,Q同时从A,B两点出发,分别沿AB,BC匀速运动。
(1) 若点P的运动速度是1 cm/s,点Q的运动速度是2 cm/s,且点Q到达点C时,P,Q两点都停止运动,设运动时间为x s,当x = 2时,判断△BPQ的形状,并说明理由。

(2) 若它们的速度都是1 cm/s,且当点P到达点B时,P,Q两点停止运动,设点P的运动时间为t s,则当t为何值时,△PBQ是直角三角形？

答案：
11.解:
(1)△BPQ是等边三角形.理由如下:
　　如图所示，根据题意，得AP=xcm,BQ=2xcm.
　　
　　当x=2时,
　　AP=2cm,BQ=4cm.
∵△ABC是边长为6cm的等边三角形,
∴AB=6cm,∠B=60°.
∴BP=4cm.
∴BP=BQ.
∴△BPQ是等边三角形.
(2)在△PBQ中，
　　BP=(6−t)cm,BQ=tcm.
　　若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90°.
　　①当∠BQP=90°时,
∵∠B=60°,
∴∠BPQ=30°.
∴BQ=$\frac{1}{2}$BP,即t=$\frac{1}{2}$(6−t),解得t=2.
　　②当∠BPQ=90°时,同理,得BP=$\frac{1}{2}$BQ,
　　即6−t=$\frac{1}{2}$t,解得t=4.
∴当t=2或4时,△PBQ是直角三角形.