《2025年初中同步学习导与练导学探究案八年级数学上册人教版》

1. 如图所示,$\angle A= 36^{\circ}$,$\angle DBC= 36^{\circ}$,$\angle C= 72^{\circ}$,则图中等腰三角形有 (D)

A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

答案： D

2. 如图所示,在一张长方形纸条上任意画一条截线$AB$,将纸条沿截线$AB$折叠,下列结论一定正确的是 (B)

A.$AB= AC$
B.$AC= BC$
C.$AB= BC$
D.$\triangle ABC$不是等腰三角形

答案： B

3. 如图所示,把两个全等的含$30^{\circ}$角的直角三角形按如图所示的方式拼在一起,其中等腰三角形有4个.

答案： 4

4. 如图所示,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$D是BC$延长线上的一点,$BD的垂直平分线EG交AB于点E$,交$BD于点G$,$DE交AC于点F$. 求证：点$E在线段AF$的垂直平分线上.

答案： 证明:
∵点E在BD的垂直平分线上，
∴ED=EB.
∴∠B=∠D.
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，∠D+∠DFC=90°.
∴∠DFC=∠A.
　又
∵∠DFC=∠AFE，
∴∠AFE=∠A.
∴EA=EF.
∴点E在线段AF的垂直平分线上.

5. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$BP平分\angle ABC$,点$D是AB$上一点,连接$DP交AC于点E$,连接$CP$,$BD= PD$.
(1)求证：$PD// BC$；
(2)若$CE+DE= BD$,$\angle A= 40^{\circ}$,求$\angle BPC$的度数.

答案：
(1)证明:
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠FBP.
∵BD=PD，
∴∠ABP=∠BPD，
∴∠BPD=∠FBP，
∴PD//BC.
(2)解:
∵PD//BC，
∴∠EPC=∠PCF.
∵DP=DE+EP=BD=CE+DE，
∴CE=EP，
∴∠EPC=∠ECP，
∴∠PCE=∠PCF，
∴∠BPC = ∠PCF - ∠PBC = $\frac{1}{2}$∠ACF - $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$(∠ACF - ∠ABC)=$\frac{1}{2}$∠A = 20°.

6. 如图所示,在$\triangle ABC$中,点$E在AB$上,点$D在BC$上,$BD= BE$,$\angle BAD= \angle BCE$,$AD与CE相交于点F$,试判断$\triangle AFC$的形状,并说明理由.

答案： 解:△AFC是等腰三角形.理由如下:
　在△ABD和△CBE中，
　$\left\{\begin{array}{l}∠BAD=∠BCE,\\∠B=∠B,\\BD=BE,\end{array}\right.$
∴△ABD≌△CBE(AAS)，
∴AB=BC.
　又
∵BE=BD，
∴AE=CD.
　在△AEF和△CDF中，
　$\left\{\begin{array}{l}∠AFE=∠CFD,\\∠EAF=∠DCF,\\AE=CD,\end{array}\right.$
∴△AEF≌△CDF(AAS)，
∴AF=CF，
∴△AFC是等腰三角形.

7. 教材题改编 如图所示,已知等腰三角形的底边长为$a$,顶角平分线的长为$b$,求作这个等腰三角形(尺规作图,保留作图痕迹).

答案：