《2025年初中同步学习导与练导学探究案八年级数学上册人教版》

1. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$BC = 4$,$\triangle ABC的面积是14$,$AC的垂直平分线EF分别交AC$,$AB于点E$,$F$。若点$D为BC$边的中点,点$M为线段EF$上一动点,求$CM + DM$的最小值。

答案：
解:如图所示，连接AD.
∵AB=AC,点D是BC边的中点.
∴AD ⊥BC,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$BC·AD=$\frac{1}{2}$×4×AD=14,解得AD=7.
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A,连接AM,则CM+DM=AM+DM≥AD,
∴当点M在线段AD上时，CM+DM的值最小，为AD的长，
∴CM+MD的最小值=AD=7.

2. 如图所示,在等边三角形$ABC$中,$D$,$E分别为边BC$,$AB$的中点,$AD = 5$,$P为AD$上的动点,连接$EP$,$BP$,求$BP + EP$的最小值。

答案：
解:
∵△ABC是等边三角形，AD 是BC边上的中线，
∴AD垂直平分BC,
∴点C与点B关于AD对称.如图所示，连接CE交AD于P,则此时BP十EP的值最小，且等于CE的长.

∵点E是AB的中点，
∴CE⊥AB,
∵S△ABC=$\frac{1}{2}$BC·AD=$\frac{1}{2}$AB·CE,BC=AB,
∴CE=AD=5,
∴BP+EP的最小值为5.

3. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$BA = BC = 10$,$\triangle ABC的面积是48$,$BH$为高,点$P$,$D分别是BH和AB$上的动点,求$PA + PD$的最小值。

答案：
解:如图所示，连接CP,作CD'⊥AB于点D'.

∵BA=BC=10,BH为高,
∴BH⊥AC,
∴BH垂直平分AC,
AH=$\frac{1}{2}$AC,
∴PA=PC,
∴PA+PD=PC+PD,
∴当C,P,D在同一直线上且CD⊥AB 时，PA+PD的值最小,等于线段CD'的长.
∵BA=BC=10,△ABC 的面积是48,
∴CD'=$\frac{48×2}{10}$=9.6,
∴PA+PD的最小值是9.6.

4. 如图所示,等边三角形$ABC$中,$AB = 8$,点$E在边BC$上,$BE = 5$,射线$CD \perp BC$,垂足为点$C$,点$P是射线CD$上的一动点,点$F是线段AB$上一动点,当$EP + PF$的值最小时,求$BF$的长。

答案：
解:如图所示,作点E关于CD的对称点E',作E'F⊥AB于F,交CD于P,

则此时EP+PF最小,最小值是E'F的长.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=60°,BC=AB=8,
∴CE=BC−BE=3,∠BE'F=30°,
∴E'C=CE=3,
∴BE'=3+8=11,
∴BF=$\frac{1}{2}$BE'=$\frac{11}{2}$.