《2025年初中同步学习导与练导学探究案八年级数学上册人教版》

8. 如图所示,$D为\triangle ABC$内一点,$CD平分\angle ACB$,$BD\perp CD$,$\angle A= \angle ABD$,若$AC= 8$,$BC= 5$,则$BD$的长为$\frac{3}{2}$.

答案： $\frac{3}{2}$

9. 如图所示,在四边形$ABCD$中,$M$,$N分别是CD$,$BC$的中点,且$AM\perp CD$,$AN\perp BC$.
(1)求证：$\angle BAD= 2\angle MAN$；

(2)连接$BD$,若$\angle MAN= 70^{\circ}$,$\angle DBC= 40^{\circ}$,求$\angle ABC$的度数.

答案：
(1)证明:连接AC，图略.
　在△ABC中，N是BC的中点，AN⊥BC，
∴AN垂直平分BC，
∴AB=AC.
∴△ABC是等腰三角形.
∴AN平分∠BAC，即∠BAN=∠CAN.
　同理可证∠CAM=∠DAM.
∴∠BAD=∠BAN+∠CAN+∠CAM+∠DAM=2(∠CAN+∠CAM)=2∠MAN.
(2)解:
∵∠MAN=70°，
∴∠BAD=2∠MAN=140°.
　由
(1)的方法可得△ABC，△ACD是等腰三角形，
∴AB=AC=AD.
∴∠ABD=∠ADB=20°.
∵∠DBC=40°，
∴∠ABC=60°.

10. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$\angle B= 90^{\circ}$,$AB= 16\mathrm{cm}$,$BC= 12\mathrm{cm}$,$AC= 20\mathrm{cm}$,$P$,$Q是\triangle ABC$边上的两个动点,其中点$P从点A开始沿A\rightarrow B$方向运动,且速度为$1\mathrm{cm}/s$,点$Q从点B开始沿B\rightarrow C\rightarrow A$运动,且速度为$2\mathrm{cm}/s$,它们同时出发,设运动的时间为$t\mathrm{s}$.

(1)$BP= $____(用含$t$的代数式表示).
(2)当点$Q在边BC$上运动时,出发几秒后,$\triangle PQB$是等腰三角形？
(3)当点$Q在边CA$上运动时,出发多少秒后,$\triangle BCQ是以BC$为底边的等腰三角形？
(4)当点$Q在边CA$上运动时,出发多少秒后,$\triangle BCQ是以BQ$为底边的等腰三角形？直接写出结果.
动点问题中等腰三角形的存在性问题
在本题中,求动点运动一定时间后,是否存在等腰三角形,可以通过等角,也可以通过等边来判定等腰三角形. 解答本题时,首先用含时间$t$的代数式表示相关边长,然后根据等腰三角形中两边相等来列方程求解.
解题策略

答案：

(1)(16 - t)cm
(2)当点Q在边BC上运动，△PQB为等腰三角形时，有BP=BQ，
　即16 - t=2t，解得t=$\frac{16}{3}$.
∴出发$\frac{16}{3}$s后，△PQB是等腰三角形.
(3)当点Q在边CA上运动，△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时，CQ=BQ，如图所示，
　　　　
　则∠C=∠CBQ.
∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°.
∴∠A=∠ABQ.
∴BQ=AQ=CQ.
∵AC=20cm，
∴CQ=AQ=10cm.
∵BC=12cm，
∴BC+CQ=22cm.
∴t=22÷2=11.
∴点Q出发11s后，△BCQ是以BC为底边的等腰三角形.
(4)出发12s后，△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形.