《2025年初中同步学习导与练导学探究案八年级数学上册人教版》

(1)如图(1)所示,$AD平分\angle BAC$,$AE \perp BC$,$\angle B = 30^{\circ}$,$\angle C = 70^{\circ}$,求$\angle DAE$的度数；

(2)如图(2)所示,$AD平分\angle BAC$,若点$F在线段AD$上(不与点$A$重合),$FE \perp BC$,$\angle B = 30^{\circ}$,$\angle C = 70^{\circ}$,求$\angle DFE$的度数；

(3)如图(3)所示,$AD平分\angle BAC$,点$F在AD$的延长线上,$FE \perp BC$,$\angle B = 28^{\circ}$,$\angle C = 68^{\circ}$,求$\angle DFE$的度数；

(4)如图(4)所示,$AD平分\angle BAC$,$EA平分\angle BEC$,$\angle C - \angle B = 38^{\circ}$,求$\angle DAE$的度数.

答案：

(1)
∵AE⊥BC,
∴∠AEC=90°.
∵∠B=30°,∠C=70°,
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=80°,∠CAE=180°−∠AEC−∠C=20°.
∵AD平分∠BAC,
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=40°.
∴∠DAE=∠CAD−∠CAE=20°.
(2)如图所示,过点A作AH⊥BC,则FE//AH,

∴∠DFE=∠DAH.
同
(1)可知∠DAH=20°,
∴∠DFE=∠DAH=20°.
(3)
∵∠B=28°,∠C=68°,
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=84°.
∵AD平分∠BAC,
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=42°.
∴∠ADC=180°−∠C−∠CAD=70°.
∴∠EDF=∠ADC=70°.
∵FE⊥BC,
∴∠DEF=90°.
∴∠DFE=180°−∠DEF−∠EDF=20°.
(4)
∵AD平分∠BAC,EA平分∠BEC,
∴∠BAD=∠CAD,∠AEC=∠AED.
∵∠AEC=180°−∠C−∠CAE,∠ADE=∠B+∠BAD,
∠ADE+∠AED+∠DAE=180°,∠CAE=∠CAD−∠DAE,
∴∠B+∠BAD+180°−∠C−∠CAD+∠DAE+∠DAE=180°.
整理,得2∠DAE=∠C−∠B.
∵∠C−∠B=38°,
∴2∠DAE=38°.
∴∠DAE=19°.