《2025年初中同步学习导与练导学探究案八年级数学上册人教版》

(4)如图(4)所示,$D为\angle AOB的平分线OC$上的一点,$DE = DF$,但$OE \neq OF$,求证:$\angle OED与\angle OFD$互为补角.

答案： 证明:如图②所示,过点D作DM⊥OA于点M,DN⊥OB于点N,
∴∠DME=∠DNF=90°.
又
∵D为∠AOB的平分线OC上一点,
∴DM=DN.
在Rt△DME和Rt△DNF中,
DM=DN,
DE=DF,
∴Rt△DME≌Rt△DNF(HL).
∴∠DEM=∠DFN.
∵∠OED+∠DEM=180°,
∴∠OED+∠OFD=180°,
即∠OED与∠OFD互为补角.

(5)如图(5)所示,若$P是\angle AOB$的平分线上一定点,$\angle AOB与\angle MPN$互补.
①求证:$PM = PN$.
②若绕点$P旋转\angle MPN$,在旋转过程中,四边形$OMPN$的面积会发生改变吗? 为什么?
③在②的条件下,求证:在旋转过程中,$OM + ON$的值保持不变.

答案： ①证明:如图③所示,过点P作PE⊥AO,PF⊥OB,垂足分别为E,F.
∵PE⊥AO,PF⊥OB,OP平分∠AOB,
∴∠PEO=∠PFO=90°,PE=PF.
∵∠AOB+∠PEO+∠PFO+∠EPF=360°,
∴∠AOB+∠EPF=180°.
又
∵∠AOB与∠MPN互补,
∴∠EPF=∠MPN,
∴∠MPE=∠NPF.
又
∵∠PEM=∠PFN=90°,PE=PF,
∴△PEM≌△PFM,
∴PM=PN.
②解:不会发生改变.理由如下:
由①,得PE=PF.
∵PE=PF,OP=OP,
∴Rt△OPE≌Rt△OPF(HL),
∴OE=OF,S△OEP=S△OPF.
∵△PEM≌△PFM,
∴S△PEM=S△PFN,ME=NF.
∵四边形OMPN的面积=S△ONP+S△OEP+S△MEP,
∴四边形OMPN的面积=S△ONP+S△NPF+S△OEP=2S△OEP.
∵P是∠AOB的平分线上一定点,PE⊥OA,
∴S△OEP是定值,
∴在旋转过程中,四边形OMPN的面积不会发生改变.
③证明:
∵OM+ON=OE+EM+ON=OE+FN+ON,
∴OM+ON=OE+OF=2OE.
∵P是∠AOB的平分线上一定点,PE⊥OA,
∴OE是定值,
∴OM+ON的值保持不变.