《2025年初中同步学习导与练导学探究案八年级数学上册人教版》

- 全等三角形
定义：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形
性质
基本性质：对应边相等,对应角相等
重要性质：对应高、对应中线、对应角平分线相等；周长相等,面积相等
判定
一个三角形经过平移、翻折、旋转后可以得到与它全等的三角形
一般三角形：$SAS$,$ASA$,AAS,SSS
直角三角形：除使用一般三角形全等的判定方法之外,还有$HL$
角的平分线
性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等
判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
尺规作图
作角
作角平分线：作图依据：$SSS$

答案： 完全重合；相等， 相等；相等 ，相等；旋转 ；$SAS$，$ASA$； $HL$；相等；相等；$SSS$。

1. 如图所示,工人师傅设计了一种测零件内径 $ AB $ 的卡钳,卡钳交叉点 $ O $ 为 $ AA' $,$ BB' $ 的中点,只要量出 $ A'B' $ 的长度,就可以知道该零件内径 $ AB $ 的长度,依据是两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。

答案： 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等

如图所示，已知$\angle CAE = \angle BAD$，$AC = AD$，增加下列条件：①$AB = AE$；②$BC = ED$；③$\angle C = \angle D$；④$\angle B = \angle E$。其中能使$\triangle ABC\cong\triangle AED$的条件有（ ）

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： C

3. 分类讨论 如图所示,$ CA \perp AB $,垂足为 $ A $,$ AB = 12 \, m $,$ AC = 6 \, m $,射线 $ BM \perp AB $,垂足为 $ B $,一动点 $ E $ 从点 $ A $ 出发以 $ 2 \, m/s $ 的速度沿射线 $ AN $ 运动,点 $ D $ 为射线 $ BM $ 上一动点,随着点 $ E $ 的运动而运动,且始终保持 $ ED = CB $,当点 $ E $ 运动0,3,9或12 $ s $ 时,由点 $ D $,$ E $,$ B $ 组成的三角形与 $ \triangle BCA $ 全等。

答案： 0,3,9或12

4. (2025 德阳期末)如图所示,在 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle AED $ 中,$ AB = AC $,$ AE = AD $,$ \angle BAC = \angle EAD $,且点 $ E $,$ A $,$ B $ 在同一直线上,点 $ C $,$ D $ 在 $ EB $ 同侧,连接 $ BD $,$ CE $ 交于点 $ M $。求证：$ \triangle ABD \cong \triangle ACE $。

答案： 证明:
∵∠BAC=∠EAD,
∴∠BAC+∠DAC=∠EAD+∠DAC,即∠DAB=∠EAC.
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l} AD=AE,\\ ∠DAB=∠EAC,\\ AB=AC,\end{array}\right. $
∴△ABD≌△ACE(SAS).

5. (2024 绵阳期末)如图所示,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AD $ 平分 $ \angle BAC $,$ \angle B = 2 \angle ADB $,$ AB = 4 $,$ CD = 7 $,则 $ AC $ 的长为(B)

A.3
B.11
C.15
D.9

答案： B

6. 如图所示,在长方形 $ ABCD $ 中,已知 $ AB = 6 \, cm $,$ BC = 10 \, cm $,点 $ P $ 以 $ 2 \, cm/s $ 的速度由点 $ B $ 向点 $ C $ 运动,同时点 $ Q $ 以 $ a \, cm/s $ 的速度由点 $ C $ 向点 $ D $ 运动,若某时刻以 $ A $,$ B $,$ P $ 为顶点的三角形和以 $ P $,$ C $,$ Q $ 为顶点的三角形全等,则 $ a $ 的值为2或$\frac{12}{5}$。

答案： 2或$\frac{12}{5}$