《2025年初中同步学习导与练导学探究案八年级数学上册人教版》

7. 如图所示，在$\triangle ABC$中，$AD$是$BC$边上的高，$CE$平分$\angle ACB$，若$\angle CAD = 20^{\circ}$，$\angle B = 50^{\circ}$，则$\angle BEC$的度数为95°.

答案： 95°

8. 如图所示，$\triangle ABC$的三条角平分线交于$O$点，已知$\triangle ABC$的周长为$20$，$OD\perp AB$，且$OD = 3$，则$\triangle ABC$的面积为30.

答案： 30

9. 如图所示，若$AB// CD$，$AP$，$CP$分别平分$\angle BAC$和$\angle ACD$，$PE\perp AC$于点$E$，且$PE = 3\mathrm{cm}$，求$AB$与$CD$之间的距离.

答案：
解:如图所示，过点P作PM⊥AB 于点M，反向延长PM交CD于点N.
∵AB//CD,
∴PN⊥CD.
∵AP平分∠BAC,PE⊥AC,PM⊥AB,
　
∴PM=PE=3cm.同理PN=PE=3cm.
∴MN=PM+PN=3+3=6(cm).
∴AB与CD之间的距离是6cm

10. 如图所示，如果$D$为$\triangle ABC$内一点，其中$BD$平分$\angle ABC$，且$AD = CD$，求证：$\angle BAD = \angle BCD$.

答案：
证明:过点D分别作DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E,F,如图所示.
　　　　　
　又
∵BD平分∠ABC,
∴DE=DF.
　在Rt△ADE和Rt△CDF中,
　　$\left\{\begin{array}{l} DE=DF,\\ AD=CD,\end{array}\right.$
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),
∴∠BAD=∠BCD.

11. 如图所示，已知在$\triangle ABC$中，$\angle ABC = 60^{\circ}$，$\angle ACB = 40^{\circ}$，$BD$平分$\angle ABC$，$CD$平分$\angle ACB$.
（1）如图（1）所示，$\angle BDC =$______$^{\circ}$；
（2）如图（2）所示，连接$AD$，过点$D$作$DE\perp AB$，$DE = 2$，$AC = 8$，求$\triangle ADC$的面积.

答案：

(1)130　
(2)如图所示，过点D作DF⊥AC,垂足为F，过点D作DH⊥BC,垂足为H.
　　　　　
∵BD平分∠ABC,DE⊥AB,DH⊥BC,
∴DH=DE=2.
∵CD平分∠ACB,DF⊥AC,DH⊥BC,
∴DF=DH=2,
∴△ADC的面积为$\frac{1}{2}DF\cdot AC=\frac{1}{2}×2×8=8$.