《2025年初中同步学习导与练导学探究案八年级数学上册人教版》

1. (1)我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律：
$15^{2}= 225= 1×2×100+25$,
$25^{2}= 625= 2×3×100+25$,
$35^{2}= 1225= 3×4×100+25$.
请根据上述规律填空：
①$55^{2}= $5×6$×100+25= $3025；
②$75^{2}= $7×8$×100+25= $5625；
③$95^{2}= $9×10$×100+25= $9025.
(2)若将(1)中两位数的十位数字设为$n$,请用含$n$的式子表示上面的规律,并用整式的运算证明该规律.
(3)对于个位数字是 5 的三位数、四位数也同样适用上述规律,请用此规律计算：
①$115^{2}$；②$205^{2}$.
(2)若设这个两位数的十位数字为n,则这个两位数为(10n+5),规律可以表示为:(10n+5)²=100n(n+1)+25.证明如下:(10n+5)²=100n²+100n+25=100n(n+1)+25.
(3)①115²=11×12×100+25=13225.②205²=20×21×100+25=42025.

答案： 1.解:
(1)①5×6 3 025②7×8 5 625 ③9×10 9 025
(2)若设这个两位数的十位数字为n,则这个两位数为(10n+5),规律可以表示为:(10n+5)²=100n(n+1)+25.证明如下:(10n+5)²=100n²+100n+25=100n(n+1)+25.
(3)①115²=11×12×100+25=13 225.②205²=20×21×100+25=42 025.

2. (1)对于多项式$x^{2}y - 4y$,将其分解因式为$y(x + 2)(x - 2)$,若取$x = 15$,$y = 12$,则有$y = 12$,$x + 2 = 17$,$x - 2 = 13$,其中 12,17,13 为因式码,将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码 121317.若取$x = 10$,$y = 15$,则形成的密码是多少？
(2)已知多项式$2a^{2}b - 32b$,用(1)中的方法,当取$a = 20$,$b = 7$时,生成的密码是多少？
(3)已知$16p^{4}-q^{4}$,用(1)中的方法生成密码,若密码的前两个因式码为 5,15,请求出第三个因式码.

答案： 2.解:
(1)取x=10,y=15时,y=15,x+2=12,x-2=8,将这三个因式码15,12,8按从小到大的顺序排列就形成密码81215.
(2)将2a²b-32b分解因式为2b(a+4)(a-4),当取a=20,b=7时,2b=14,a+4=24,a-4=16,将这三个因式码14,24,16按从小到大的顺序排列,形成的密码是141624.
(3)将16p⁴-q⁴分解因式为(4p²+q²)(2p+q)(2p-q).
∵密码的前两个因式码为5,15,
∴{2p-q=5,解得{p=5,{2p+q=15, {q=5.此时4p²+q²=125,且5＜15＜125,符合题意.
∴第三个因式码为125.