《2025年初中同步学习导与练导学探究案八年级数学上册人教版》

1. 如图所示,点 $ A,B,C,D $ 在同一直线上,$ AB = CD $,作 $ CE \perp AD $,$ BF \perp AD $,垂足分别为 $ C,B $,$ AE // DF $ 且 $ AE = DF $.求证：$ EF $ 平分线段 $ BC $.

答案： 证明:
∵CE⊥AD,BF⊥AD,
∴∠ACE=∠DBF=90°.
∵AB=CD,
∴AB - BC=CD - BC,即AC=DB.
∵AE//DF,
∴∠A=∠D.
在△ACE和△DBF中,
AE=DF,
∠A=∠D,
AC=DB,
∴△ACE≌△DBF(SAS).
∴CE=FB.
在△CEG和△BFG中,
∠ECG=∠FBG=90°,
∠EGC=∠FGB,
EC=FB,
∴△CEG≌△BFG(AAS).
∴CG=BG,即EF平分线段BC.

2. 教材题改编 如图所示,点 $ D,E $ 分别在 $ AB $,$ AC $ 上,$ CD \perp AB $,$ BE \perp AC $,$ BE $,$ CD $ 相交于点 $ O $,$ \angle 1 = \angle 2 $,求证：$ OB = OC $.

答案： 证明:
∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴∠ADC=∠AEB=∠BDO=∠CEO=90°.
在△ADO和△AEO中,
∠ADO=∠AEO,
∠1=∠2,
OA=OA,
∴△ADO≌△AEO(AAS).
∴OD=OE.
在△BOD和△COE中,
∠BDO=∠CEO,
OD=OE,
∠BOD=∠COE,
∴△BOD≌△COE(ASA).
∴OB=OC.

3. 如图所示,$ \angle BAD = \angle CAE = 90° $,$ AB = AD $,$ AE = AC $,$ AF \perp CB $,交 $ CB $ 的延长线于点 $ F $.求证：$ CD = 2BF + DE $.(提示：等腰三角形的两个底角相等)

答案：
证明:如图所示,延长BF到点G,使得FG=FB.

∵∠CAE=90°,AC=AE,
∴∠DEA=∠DCA=45°.
∵AF⊥BG,
∴∠AFG=∠AFB=90°.
在△AFB和△AFG中,
BF=GF,
∠AFB=∠AFG,
AF=AF,
∴△AFB≌△AFG(SAS).
∴AB=AG,∠ABF=∠G.
∵∠BAD=∠CAE=90°,
∴∠BAC=∠DAE.
在△BAC与△DAE中,
AB=AD,
∠BAC=∠DAE,
AC=AE,
∴△BAC≌△DAE(SAS).
∴∠CBA=∠EDA,∠BCA=∠DEA=45°,CB=ED.
∵AG=AD,∠ABF=∠CDA.
∴∠G=∠CDA.
在△CGA和△CDA中,
∠GCA=∠DCA=45°,
∠CGA=∠CDA,
AG=AD,
∴△CGA≌△CDA(AAS).
∴CG=CD.
∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF,
∴CD=2BF+DE.