《2025年初中同步学习导与练导学探究案八年级数学上册人教版》

8. 如图所示,点$P是射线OC$上一点(不与点$O$重合),过点$P分别向角的两边作垂线PD$,$PE$,垂足分别是$D$,$E$,连接$DE$,交$OC于点F$,若$PD= PE$,那么图中全等的直角三角形共有(A)

A.$3$对
B.$2$对
C.$1$对
D.$0$对

答案： A

9. 分类讨论 如图所示,$\angle C= 90^{\circ}$,$AC= 10$,$BC= 5$,$AX\perp AC$,点$P和点Q从点A$出发,分别在线段$AC和射线AX$上运动,且$AB= PQ$,当点$P运动到AP= $5或10时,$\triangle ABC与\triangle APQ$全等。

答案： 5或10

10. 如图所示,在四边形$ABCD$中,$\angle B= 90^{\circ}$,连接对角线$AC$,且$AC= AD$,点$E在边BC$上,连接$DE$,过点$A作AF\perp DE$,垂足为$F$,若$AB= AF$。求证：
(1)$\triangle ADF\cong\triangle ACB$；
(2)$DF= EF+CE$。

答案： 证明:
(1)
∵AF⊥DE,
∴∠AFD=∠B=90°.
　在Rt△ADF和Rt△ACB中,
　　AD=AC,
　　AF=AB,
∴Rt△ADF≌Rt△ACB(HL).
(2)如图所示，连接AE,
　　由△ADF≌△ACB,得
　DF=CB.
　在Rt△AEF和Rt△AEB中,
　　AE=AE,
　　AF=AB,
∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL).
∴EF=EB.
∵BC=BE+CE=EF+CE,
∴DF=EF+CE.

11. 如图(1)所示,$E$,$F分别为线段AC$上的两个动点,且$DE\perp AC于点E$,$BF\perp AC于点F$,若$AB= CD$,$AF= CE$,$BD交AC于点M$。
(1)求证：$MB= MD$,$MF= ME$。

(2)当$E$,$F$两点移动至如图(2)所示的位置时,其余条件不变,上述结论是否仍然成立？请说明理由。

答案：
(1)证明:
∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴∠AFB=∠CED=90°.
　在Rt△ABF和Rt△CDE中,
　　AB=CD,
　　AF=CE,
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
∴BF=DE.
　　在△BFM和△DEM中,
　　∠BMF=∠DME,
　　∠MFB=∠MED=90°,
　　BF=DE,
∴△BFM≌△DEM(AAS),
∴MB=MD,MF=ME.
(2)解:结论仍然成立.理由如下:在Rt△ABF和Rt△CDE中,
　　AB=CD,
　　AF=CE,
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
∴BF=DE.
　　在△BFM和△DEM中,
　　∠BMF=∠DME,
　　∠BFM=∠DEM=90°,
　　BF=DE,
∴△BFM≌△DEM(AAS).
∴MB=MD,MF=ME.