《2025年初中同步学习导与练导学探究案八年级数学上册人教版》

8. 如图所示,$BE$,$CF是\triangle ABC$的角平分线,$BE$,$CF相交于点D$,$\angle ABC = 50^{\circ}$,$\angle ACB = 70^{\circ}$,则$\angle ADE$的度数是55°。

答案： 55°

9. 如图所示,将$\triangle ABC沿着平行于BC$的直线折叠,点$A落到点A'$处,若$\angle C = 135^{\circ}$,$\angle A = 15^{\circ}$,则$\angle A'DB$的度数为120°。

答案： 120°

10. 新定义定义：在一个三角形中,如果有一个角是另一个角的$2$倍,我们称这两个角互为“开心角”,这个三角形叫作“开心三角形”。如图所示,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$\angle A = 60^{\circ}$,点$D是线段AB$上一点(不与点$A$,$B$重合),连接$CD$。若$\triangle ACD$是“开心三角形”,则$\angle ACD$的度数为______。

答案： 30°,40°或80°

11. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$CD\perp AB于点D$,$DE// BC交AC于点E$,$EF\perp CD于点G$,交$BC于点F$。
(1)求证：$\angle ADE = \angle EFC$；
(2)若$\angle ACB = 80^{\circ}$,$\angle A = 60^{\circ}$,求$\angle DCB$的度数。

答案：
(1)证明:
∵DE//BC,
∴∠ADE=∠B.
∵CD⊥AB,EF⊥CD,
∴AB//EF,
∴∠B=∠EFC,
∴∠ADE=∠EFC.
(2)解:
∵∠ACB=80°,∠A=60°,
∴∠B=180°−∠A−∠ACB=40°.
∵CD⊥AB,
∴∠BDC=90°,
∴∠DCB=180°−90°−40°=50°.

12. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC$,$\angle ACB的平分线交于点O$。
(1)若$\angle ABC = 40^{\circ}$,$\angle ACB = 60^{\circ}$,则$\angle BOC = $130°。
(2)若$\angle ABC + \angle ACB = 116^{\circ}$,则$\angle BOC = $122°。
(3)若$\angle A = 76^{\circ}$,则$\angle BOC = $128°。
(4)若$\angle A = m^{\circ}$,则$\angle BOC = $90°+$\frac{1}{2}$m°。
(5)若$\angle BOC = 120^{\circ}$,则$\angle A = $60°。
(6)$\angle A与\angle BOC$之间具有怎样的数量关系？为什么？

答案：
(1)130°　
(2)122°　
(3)128°
(4)90°+$\frac{1}{2}$m°　
(5)60°
(6)∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A.
　　理由如下:
∵BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB.
∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−($\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB)=180°−$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=180°−90°+$\frac{1}{2}$∠A=90°+$\frac{1}{2}$∠A.