《2025年初中同步学习导与练导学探究案八年级数学上册人教版》

6. 如图所示,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = 6 $,$ AC = 4 $,则 $ BC $ 边上的中线 $ AD $ 的取值范围是 \underline{$1\lt AD\lt 5$}。

答案： $1\lt AD\lt 5$

7. 如图所示,$ AD $ 是 $ \triangle ABC $ 的中线,$ AB = AE $,$ AC = AF $,$ \angle BAE = \angle CAF = 90° $,判断线段 $ EF $ 和 $ AD $ 的数量关系和位置关系,并加以证明。

答案：
解：$EF=2AD$，$AD\perp EF$.
证明如下：如图所示，延长 AD 到点 M，使得$DM=AD$，连接 BM，反向延长 DA 交 EF 于点 P.

在$\triangle BDM$与$\triangle CDA$中，$\left\{\begin{array}{l} BD=CD,\\ \angle BDM=\angle CDA,\\ DM=DA,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle BDM\cong \triangle CDA(SAS)$，$\therefore BM=AC$，$\angle M=\angle DAC$，$\therefore BM// AC$.
$\because AC=AF$，$\therefore BM=AF$.
$\because BM// AC$，$\therefore \angle BAC+\angle ABM=180^{\circ}$.
$\because \angle BAE=\angle FAC=90^{\circ}$，$\therefore \angle BAC+\angle EAF=180^{\circ}$.$\therefore \angle ABM=\angle EAF$.
在$\triangle ABM$和$\triangle EAF$中，$\left\{\begin{array}{l} AB=EA,\\ \angle ABM=\angle EAF,\\ BM=AF,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABM\cong \triangle EAF(SAS)$.$\therefore AM=EF$，$\angle BAD=\angle AEF$.
$\because AD=DM$，$\therefore AM=2AD$.
$\because AM=EF$，$\therefore EF=2AD$.
$\because \angle BAE=90^{\circ}$，$\therefore \angle BAD+\angle EAP=90^{\circ}$.$\therefore \angle AEF+\angle EAP=90^{\circ}$.$\therefore AD\perp EF$.

8. 如图所示,在 $ \triangle ABC $ 中,点 $ D $ 是 $ BC $ 的中点,点 $ E $,$ F $ 分别在 $ AB $,$ AC $ 上,且 $ DE \perp DF $,求证：$ BE + CF ＞ EF $。

答案：
证明：如图所示，延长 ED 使得$DM=DE$，连接 FM，CM.

$\because BD=DC$，$\angle BDE=\angle CDM$，$DE=DM$，$\therefore \triangle BDE\cong \triangle CDM(SAS)$，$\therefore BE=CM$.
$\because DF\perp EM$，$\therefore \angle EDF=\angle MDF=90^{\circ}$.
$\because ED=MD$，$\angle EDF=\angle MDF$，$DF=DF$，$\therefore \triangle EDF\cong \triangle MDF(SAS)$，$\therefore FE=FM$.
$\because CM+CF\gt FM$，$\therefore BE+CF\gt EF$.