《2025年初中同步学习导与练导学探究案八年级数学上册人教版》

1. (1)如图(1)所示,用 3 根等长的磁力棒可以搭出一个等边三角形,如图(2)所示,搭两个等边三角形至少需要 5 根磁力棒,用 6 根磁力棒最多可以搭出多少个等边三角形(可以考虑立体图形)? 请画出示意图.
(2)用 9 根磁力棒在一个平面内最多可以搭出几个等边三角形? 用 9 根磁力棒搭成立体图形最多可以搭出几个等边三角形? 请画出示意图.

答案：
1.解:
(1)用6根磁力棒最多可以搭出4个等边三角形，示意图如图①所示
　　　　　
(2)用9根磁力棒在一个平面内最多可以搭出5个等边三角形，示意图如图②所示
　　 　　 用9根磁力棒搭成立体图形最多可以搭出7个等边三角形，示意图如图③所示.

2. 把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段(这些线段不在多边形内部相交)划分为若干个三角形,叫作多边形的三角剖分.
(1)将一个四边形进行三角剖分,有多少种剖分方法? 五边形呢? 请画出示意图.
(2)将一个 $ n(n \geq 3) $ 边形进行三角剖分,能剖分出多少个三角形? 将一个多边形进行三角剖分得到的三角形个数与多边形的边数有什么关系?

答案：
2.解:
(1)将一个四边形进行三角剖分，有2种剖分方法，示意图如图①所示.
　　　
　将一个五边形进行三角剖分，有5种剖分方法，示意图如图②所示.
　　
(2)将一个n(n≥3)边形进行三角剖分，能剖分出(n - 2)个三角形；将一个多边形进行三角剖分得到的三角形个数比多边形的边数少2.

3. 对于一个 $ n $ 边形的三角剖分有多少种方法,有一个公式: 当 $ n \geq 3 $ 时, $ \frac{D_{n+1}}{D_n}= \frac{4n - 6}{n} $ ($ D_3 = 1 $). 例如: 四边形的三角剖分方法数为 $ D_4 $,因为 $ \frac{D_4}{D_3}= \frac{4 × 3 - 6}{3}= 2 $,所以 $ D_4 = D_3 × 2 = 2 $,所以四边形的三角剖分方法数为 2. 请你用该公式验证第 2 题中五边形的三角剖分方法数,并计算六边形、七边形的三角剖分方法数.

答案： 3.解:
∵$\frac{D_5}{D_4}=\frac{4×4 - 6}{4}=2.5$,
∴$D_5=D_4×2.5=2×2.5=5$,
∴五边形的三角剖分方法数为5.
∵$\frac{D_6}{D_5}=\frac{4×5 - 6}{5}=2.8$,
∴$D_6=D_5×2.8=5×2.8=14$,
∴六边形的三角剖分方法数为14.
∵$\frac{D_7}{D_6}=\frac{4×6 - 6}{6}=3$,
∴$D_7=D_6×3=14×3=42$,
∴七边形的三角剖分方法数为42.