《2025年初中同步学习导与练导学探究案八年级数学上册人教版》

10. 若 $ 3^{x}= a $,$ 3^{y}= b $,$ 3^{n}= ab $,则下列等式成立的是(C)
A.$ n = 5x + y $
B.$ n = xy $
C.$ n = x + y $
D.$ n = x - y $

答案： C

11. 已知 $ x = 2^{m}+1 $,$ y = 3 + 2^{m + 1} $,若用含 $ x $的代数式表示 $ y $,则 $ y = $ 2m-n。

答案： $2m-n$

12. 计算下列各题：
(1)$ (2m - n) \cdot (n - 2m)^{2} \cdot (n - 2m)^{3} \cdot (2m - n)^{4} $；
(2)$ 10^{3}×10×10^{5}×1000 $；
(3)$ (a - b)^{3} \cdot (b - a)^{2} \cdot (b - a) $；
(4)$ (a + b)(b + a) \cdot (b + a)^{2}+(a + b)^{2} \cdot (-a - b)^{2} $。

答案：
(1)$-(2m-n)^{10}$
(2)$10^{12}$
(3)$-(b-a)^6$
(4)$2(a+b)^4$

13. 基本事实：若 $ a^{m}= a^{n}(a ＞ 0 $且 $ a \neq 1 $,$ m $,$ n $是正整数),则 $ m = n $。试利用上述基本事实分别求下列各等式中 $ x $的值：
①$ 2×2^{x}×2^{x + 2}= 2^{7} $； ②$ 2^{x + 2}+2^{x + 1}= 24 $。

答案： 解：①原方程可化为$2^{2x+3}=2^7$,
$\therefore 2x+3=7$,解得$x=2$.
②原方程可化为$2× 2^{x+1}+2^{x+1}=24$,
$\therefore 2^{x+1}(2+1)=24$,
$\therefore 2^{x+1}=8=2^3$,
$\therefore x+1=3$,解得$x=2$.

14. (1)新定义 定义一种新运算$ (a,b) $：若 $ a^{c}= b $,则$ (a,b)= c $,例如：$ (2,8)= 3 $,$ (3,81)= 4 $。
若$ (4,n)= 3 $,则 $ n = $64；若$ (3,c)+(3,d)= (3,m) $,则 $ m $的值为cd(用含 $ c $,$ d $的代数式表示)；
(2)已知 $ x $满足 $ 2^{2x + 2}-2^{2x + 1}= 32 $,则 $ x $的值为2。

答案：
(1)64 cd
(2)2