《2025年初中同步学习导与练导学探究案八年级数学上册人教版》

5. 如图(1)所示,已知$OA = 2$,$OB = 4$,以点$A$为直角顶点,$AB为腰在第三象限作等腰直角三角形ABC$。
(1)求点$C$的坐标；
(2)如图(2)所示,$P为y$轴负半轴上的一个动点,当点$P沿y$轴负半轴向下运动时,以点$P$为直角顶点,$PA为腰作等腰直角三角形APD$,过点$D作DE\perp x轴于点E$,求$OP - DE$的值。

答案：
解:
(1)如图①所示，过点C作CM⊥x轴于点M.

∵CM⊥OA，AC⊥AB，
∴∠CMA = ∠AOB = ∠CAB = 90°.
∴∠MAC + ∠OAB = 90°，
∠OAB + ∠OBA = 90°.
∴∠MAC = ∠OBA.
在△MAC和△OBA中，$\left\{\begin{array}{l}∠CMA = ∠AOB\\∠MAC = ∠OBA\\AC = BA\end{array}\right.$
∴△MAC≌△OBA(AAS).
∴CM = OA = 2，MA = OB = 4.
∴OM = 6.
∵点C位于第三象限，
∴点C的坐标为(-6, -2).
(2)如图②所示，过点D作DQ⊥OP于点Q，则四边形OEDQ为长方形.

∴OQ = DE，
∴OP - DE = QP.
∵△APD为等腰直角三角形，点P为直角顶点，
∴∠APD = ∠APO + ∠DPQ = 90°，AP = PD.
∵∠APO + ∠OAP = 90°，
∴∠OAP = ∠DPQ.
在△AOP和△PQD中，$\left\{\begin{array}{l}∠AOP = ∠PQD = 90°\\∠OAP = ∠QPD\\AP = PD\end{array}\right.$
∴△AOP≌△PQD(AAS).
∴PQ = OA = 2.
∴OP - DE = QP = 2.

6. 如图所示,四边形$ABCD$中,$AD// BC$,$\angle B = 90^{\circ}$,$AD = 6$,$BC = 7$,将边$DC绕点D沿逆时针方向旋转90^{\circ}至DE$,连接$AE$,求$\triangle ADE$的面积。

答案：
解:如图所示，过点D作DG⊥BC于点G，过点E作EF⊥AD交AD的延长线于点F.

则∠BGD = ∠CGD = ∠EFD = 90°.
∵AD//BC，∠B = 90°，
∴∠BAD = 180° - ∠B = 90°，
∴四边形ABGD是长方形，
∴DG//AB，BG = AD = 6，
∠FDG = ∠BAD = 90°，
∴CG = BC - BG = 7 - 6 = 1.
由旋转得∠EDC = 90°，DE = DC，
∴∠EDF = ∠CDG = 90° - ∠CDF.
在△DEF和△DCG中，$\left\{\begin{array}{l}∠EFD = ∠CGD\\∠EDF = ∠CDG\\DE = DC\end{array}\right.$
∴△DEF≌△DCG(AAS)，
∴EF = CG = 1，
∴S△ADE = $\frac{1}{2}$AD·EF = $\frac{1}{2}$×6×1 = 3.