《2025年初中同步学习导与练导学探究案八年级数学上册人教版》

1. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$AD\perp BC于点D$,要使$\triangle ABD\cong\triangle ACD$,若根据“HL”判定,还需要添加条件AB=AC；若添加条件$\angle B= \angle C$,则可用AAS判定$\triangle ABD\cong\triangle ACD$。

答案： AB=AC　AAS

2. 教材题变式 如图所示,点$C是路段AB$的中点,小明和小红两人从点$C$同时出发,以相同的速度分别沿两条直线行走,分别到达$D$,$E$两地,并且$DA\perp AB于点A$,$EB\perp AB于点B$。此时小明到路段$AB的距离是50$米,则小红到路段$AB$的距离是50米。

答案： 50

3. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,且$AE= AC$,$DE\perp AB于点E$。若$BC= 7$,则$DE+BD$的值为(D)

A.$14$
B.$12$
C.$9$
D.$7$

答案： D

4. 如图所示,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ABC= 90^{\circ}$,$D是边AB$上一点,延长$CB至点E$,使$EB= AB= 5$,连接$DE$。若$DE= AC$,且$\triangle ABC的面积为7$,则$BD$的长为(B)

A.$4$
B.$\frac{14}{5}$
C.$\frac{13}{2}$
D.$7$

答案： B

5. 如图所示,$AC= BC$,$AE= CD$,$AE\perp CD于点E$,$BD\perp CD于点D$,$AE= 7$,$BD= 2$,则$DE$的长是(A)

A.$7$
B.$5$
C.$3$
D.$2$

答案： A

6. 如图所示,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$CA= CB$,$D是AC$上一点,$E在BC$的延长线上,且$AE= BD$,$BD的延长线交AE于点F$。$BF与AE$有怎样的位置关系？请说明理由。

答案： 解:BF⊥AE.
　理由如下:
∵∠ACB=90°,
∴∠ACE=∠BCD=90°.
　在Rt△BDC和Rt△AEC中,
　BD=AE,
　BC=AC,
∴Rt△BDC≌Rt△AEC(HL).
∴∠CBD=∠CAE.
　又
∵∠CAE+∠E=90°,
∴∠EBF+∠E=90°.
∴∠BFE=90°.
∴BF⊥AE.

7. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$AD平分\angle BAC$,$DE\perp AB$,$DF\perp AC$,垂足分别为$E$,$F$,且$BD= CD$。求证：$BE= CF$。

答案： 证明:
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠EAD=∠FAD,∠AED=∠AFD=90°.
　在△AED和△AFD中,
　∠EAD=∠FAD,
　∠AED=∠AFD,
　AD=AD,
∴△AED≌△AFD(AAS).
∴DE=DF.
　在Rt△BED和Rt△CFD中,
　DE=DF,
　BD=CD,
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL).
∴BE=CF.