《2025年初中同步学习导与练导学探究案八年级数学上册人教版》

例2
如图所示,在△ABC中,AB= AC,D,A,E三点都在直线m上,并且有∠BDA= ∠AEC= ∠BAC= α,其中α为任意锐角或钝角.求证：DE= BD+CE.

答案： 证明:
∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，
∴∠BAD+∠CAE=180° - α，
∠DBA+∠BAD=180° - α.
∴∠DBA=∠CAE.
在△ABD和△CAE中，
{∠BDA=∠AEC，
∠ABD=∠CAE，
AB=CA，
∴△ABD≌△CAE(AAS).
∴BD=AE，DA=CE.
∴DE=AE+DA=BD+CE.

练习4
如图所示,已知AC= BC,点D是BC上一点,∠ADE= ∠C.
(1)如图(1)所示,若∠ADE= ∠C= 90°,∠DBE= 135°,求证：
①∠EDB= ∠A；②DA= DE.
(2)如图(2)所示,当∠DBE与∠C之间满足什么数量关系时,总有DA= DE成立?
(提示：等腰三角形的两个底角相等)

答案：

(1)证明:①
∵∠ADE=∠C=90°，
∴∠EDB+∠ADC=90°，∠A+∠ADC=90°.
∴∠EDB=∠A.
②在AC上截取CF=CD，连接FD，如图①所示.
∵∠C=90°，
∴∠CFD=∠CDF=45°.
∴∠AFD=135°=∠DBE.
∵AC=BC，
∴AC - CF=BC - CD，即AF=BD.
由①，知∠A=∠BDE.
在△AFD和△DBE中，
{∠A=∠BDE，
AF=DB，
∠AFD=∠DBE，
∴△AFD≌△DBE(ASA).
∴DA=DE.

(2)解:当∠DBE=90° + ∠C/2时，总有DA=DE成立.理由如下:如图②所示，在AC上截取CM=CD，连接MD.
∵AC=BC，
∴AC - CM=BC - CD，
即AM=DB.
∵∠ADB=∠A+∠C，∠ADB=∠ADE+∠BDE，∠ADE=∠C，
∴∠A=∠BDE.
在△AMD和△DBE中，
{∠A=∠BDE，
AM=DB，
∠AMD=∠DBE，
∴△AMD≌△DBE(ASA).
∴DA=DE.
∵CM=CD，
∴∠CMD=∠CDM=(180° - ∠C)/2=90° - ∠C/2.
∵∠AMD=180° - ∠CMD，
∴∠AMD=180° - (90° - ∠C/2)=90° + ∠C/2.
∴∠DBE=90° + ∠C/2
即当∠DBE与∠C之间满足∠DBE=90° + ∠C/2时，总有DA=DE成立.