《2025年初中同步学习导与练导学探究案八年级数学上册人教版》

如图所示,已知△ABC,BF是△ABC的外角∠CBD的平分线,CG是△ABC的外角∠BCE的平分线,BF,CG相交于点P。求证：
(1)点P到三边AB,BC,CA所在直线的距离相等；
(2)点P在∠A的平分线上。

答案：
证明:
(1)如图所示，过点P作PK⊥AC于点K,PM⊥BC于点M,PN⊥AB于点N.

又
∵CG平分∠BCE，BF平分∠CBD，
∴PK=PM,PM=PN，
∴PK=PM=PN，
∴点P到三边AB,BC,CA所在直线的距离相等.
(2)由
(1),知PK=PN,PK⊥AE，PN⊥AD，
又
∵点K,N分别在∠EAD的两边上，
∴点P在∠A的平分线上.

1. 如图所示,点P为∠ABC和∠MAC的平分线的交点。求证：点P在∠ACN的平分线上。

答案：
证明:如图所示,过点P作PE⊥BM于点E，PF⊥AC于点F，PG⊥BN于点G.

∵点P为∠ABC和∠MAC的平分线的交点，
∴PE=PF,PE=PG，
∴PF=PG.
又
∵PF⊥CA，PG⊥CN，
∴点P在∠ACN的平分线上.

2. 如图所示,点P是△ABC外一点,过点P分别作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,垂足分别是D,E,F,且PD= PE= PF,过点P作PM//BC,分别交AB,AC于M,N两点。求证：MN= BM-CN。

答案：
证明:连接BP，CM，CP，过点C作CG⊥PM于点G，如图所示，则CG=PE.

∵PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，
∴S△BMP=$\frac{1}{2}$BM·PD，
S△NPC=$\frac{1}{2}$CN·PF，
S△MNC=$\frac{1}{2}$MN·PE.
∵PM//BC，
∴S△BMP=S△CMP=S△MNC+S△NPC，
∴$\frac{1}{2}$BM·PD=$\frac{1}{2}$MN·PE+$\frac{1}{2}$NC·PF.
∵PD=PE=PF，
∴BM=MN+NC，
即MN=BM - NC.