《2025年初中同步学习导与练导学探究案八年级数学上册人教版》

因式分解
定义
方法
提公因式法 $ pa + pb + pc = $$p(a+b+c)$
公式法
平方差公式 $ a^2 - b^2 = $$(a+b)(a-b)$
完全平方公式 $ a^2 \pm 2ab + b^2 = $$(a\pm b)^2$

答案： $p(a+b+c)$；$(a+b)(a-b)$；$(a\pm b)^2$

考点 因式分解
1. 下列各式由左边到右边的变形中,是因式分解的是(C)
A.$ a(x + y) = ax + ay $
B.$ x^2 - 2x + 1 = x(x - 2) + 1 $
C.$ 6x^2 - 3x = 3x(2x - 1) $
D.$ x^2 - 4 + 3x = (x - 2)(x + 2) + 3x $

答案： C

2. 将下列多项式分解因式,结果中不含有因式$ (x + 2) $的是(C)
A.$ x^2 - 4 $
B.$ (x - 2)^2 + 8(x - 2) + 16 $
C.$ x^3 - 4x^2 + 4x $
D.$ x^2 + 2x $

答案： C

3. 下列多项式能用公式法分解因式的有(B)
① $ x^2 + y^2 $；② $ -x^2 + y^2 $；③ $ x^2 + 2xy - y^2 $；④ $ -x^2 + 4xy - 4y^2 $。
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： B

4. 已知 $ a $,$ b $,$ c $ 分别是 $ \triangle ABC $ 的三边长,若 $ a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 24 $,$ a + b - c = 4 $,则 $ \triangle ABC $ 的周长是(B)
A.3
B.6
C.8
D.12

答案： B

5. (2024 宜宾)因式分解：$ 2a^2 - 2 = $2(a+1)(a-1)。

答案： 2(a+1)(a-1)

6. (2024 广元)因式分解：$ (a + 1)^2 - 4a = $$(a-1)^{2}$。

答案： $(a-1)^{2}$

7. 若 $ x $,$ y $ 满足$ \begin{cases} x - 2y = -2, \\ x + 2y = 3, \end{cases} $则代数式 $ x^2 - 4y^2 $ 的值为-6。

答案： -6

8. 已知 $ ab = 2 $,$ a - 2b = 3 $,则 $ 4ab^2 - 2a^2b $ 的值是-12。

答案： -12

9. 若 $ x + y = 1 $,则 $ x^2 + 2y - y^2 - 5 = $-4。

答案： -4

10. 因式分解：
(1)$ 4m - 2m^2 $；(2)$ m^2n - n^3 $；
(3)$ ma^2 + 2mab + mb^2 $；
(4)$ (x^2 + 4)^2 - 16x^2 $。

答案：
(1)2m(2-m)
(2)n(m+n)(m-n)
$(3)m(a+b)^{2}$
$(4)(x+2)^{2}(x-2)^{2}$

11. 学习了公式 $ a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2 $ 后,老师向同学们提出了如下将多项式 $ x^2 + 4x + 3 $ 分解因式的方法：
$ x^2 + 4x + 3 = x^2 + 4x + 4 - 1 = (x + 2)^2 - 1 = (x + 2 + 1)(x + 2 - 1) = (x + 3)(x + 1) $。
请你运用上述方法将下列多项式分解因式：
(1)$ x^2 + 4x - 21 $；(2)$ m^2 + 8m + 15 $。

答案：
(1)(x+7)(x-3)
(2)(m+5)(m+3)