《2025年初中同步学习导与练导学探究案八年级数学上册人教版》

8. (2024德州)如图所示,$P为\triangle ABC$内一点,过点$P的线段MN分别交AB$,$BC于点M$,$N$,且$M$,$N分别在PA$,$PC$的中垂线上。若$\angle ABC= 80^{\circ}$,则$\angle APC$的度数为(C)

A.$120^{\circ}$
B.$125^{\circ}$
C.$130^{\circ}$
D.$135^{\circ}$

答案： C

9. 如图所示,$\angle AOB$是一建筑钢架,$\angle AOB= 10^{\circ}$,为了使钢架更加稳固,需要在内部添加一些钢管$EF$,$FG$,$GH$,$HM$,…,添加的钢管的长度都与$OE$相等,则最多能添加这样的钢管8根。

答案： 8

10. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$AB= BC$,$DF\perp BC于点D$,交$AC于点F$。$F是AC$的中点,求证：$\angle CFD= \frac{1}{2}\angle ABC$。

答案： 提示:连接BF，根据等腰三角形的三线合一证明.

11. 综合与探究 利用“三线合一”构造等腰三角形：如图(1)所示,$OP平分\angle MON$。点$A为OM$上一点,过点$A作AC\perp OP$,垂足为$C$,延长$AC交ON于点B$,可证得$\triangle AOC\cong\triangle BOC$,则$AO= BO$,即$\triangle AOB$是等腰三角形。
【问题提出】
(1)如图(2)所示,在$\triangle ABC$中,$CD平分\angle ACB$,$AE\perp CD于点E$,若$\angle EAC= 63^{\circ}$,$\angle B= 37^{\circ}$,通过上述构造等腰三角形的办法,求$\angle DAE$的度数；
【问题探究】
(2)如图(3)所示,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$\angle BAC= 90^{\circ}$,$CD平分\angle ACB$,$BE\perp CD$,垂足$E在CD$的延长线上,试探究$BE和CD$的数量关系。

答案：
解:
(1)如图①所示,延长AE交BC于点F,
　由已知可得,AC=FC,
∴∠EFC=∠EAC=63°.
∵∠EFC=∠B+∠DAE,
∴∠DAE=∠EFC−∠B=63°−37°=26°.
(2)如图②所示,延长BE,CA交于点F,
　则∠BAF=180°−∠BAC=90°.
∵BE⊥CD,
∴∠BED=90°=∠BAC.
∵∠BDC=∠ABF+∠BED=∠ACD+∠BAC,
∴∠ABF=∠ACD.
　又
∵AB=AC,∠BAF=∠CAD=90°,
∴△ABF≌△ACD(ASA),
∴BF=CD.
　由已知可得,BE=FE=$\frac{1}{2}$BF,
∴BE=$\frac{1}{2}$CD.