《2025年初中同步学习导与练导学探究案八年级数学上册人教版》

1. (2024 无锡)如图所示,在$\triangle ABC$中,过点$B作\triangle ABC的角平分线AD$的垂线,垂足为$F$；作$FG// AB交AC于点G$。若$AB = 4$,则线段$FG$的长为2。

答案： 2

2. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle BAC = 36^{\circ}$,$CD是\angle ACB$的平分线,交$AB于点D$,过点$A作AE// BC$,交$CD的延长线于点E$。求证：$AE = DE$。
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答案： 证明:
∵AB=AC,∠BAC=36°,
∴∠B=∠ACB=$\frac{1}{2}$(180°-∠BAC)=72°.
∵CD是∠ACB的平分线,
∴∠DCB=$\frac{1}{2}$∠ACB=36°.
∵AE//BC,
∴∠EAB=∠B=72°.
∵∠B=72°,∠DCB=36°,
∴∠ADE=∠BDC=180°-72°-36°=72°,
∴∠EAD=∠ADE,
∴AE=DE.

3. (1)如图(1)所示,已知：在$\triangle ABC$中,$AB = AC = 10$,$BD平分\angle ABC$,$CD平分\angle ACB$,过点$D作EF// BC$,分别交$AB$,$AC于E$,$F$两点,则图中共有5个等腰三角形；$EF与BE$,$CF$之间的数量关系是BE+CF=EF,$\triangle AEF$的周长是20。
(2)如图(2)所示,若将(1)中“在$\triangle ABC$中,$AB = AC = 10$”改为“若$\triangle ABC$为三边都不相等的三角形,$AB = 8$,$AC = 10$”其余条件不变,则图中共有2个等腰三角形；$EF与BE$,$CF$之间的数量关系是什么？证明你的结论,并求出$\triangle AEF$的周长。
证明如下:
∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,
∴∠EBD=∠CBD,∠FCD=∠BCD.
∵EF//BC,
∴∠EDB=∠CBD,∠FDC=∠BCD.
∴∠EBD=∠EDB,∠FDC=∠FCD.
∴BE=DE,CF=DF.
∴等腰三角形有△BDE,△CFD.
∴BE+CF=DE+DF=EF.
即BE+CF=EF.
可得△AEF的周长为18.
(3)已知：如图(3)所示,点$D在\triangle ABC$外,$AB ＞ AC$,且$BD平分\angle ABC$,$CD平分\triangle ABC的外角\angle ACG$,过点$D作DE// BC$,分别交$AB$,$AC于E$,$F$两点,则$EF与BE$,$CF$之间又有何数量关系呢？直接写出结论,不必证明。
BE-CF=EF

答案：
(1)5 BE+CF=EF 20
(2)2;BE+CF=EF.证明如下:
∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,
∴∠EBD=∠CBD,∠FCD=∠BCD.
∵EF//BC,
∴∠EDB=∠CBD,∠FDC=∠BCD.
∴∠EBD=∠EDB,∠FDC=∠FCD.
∴BE=DE,CF=DF.
∴等腰三角形有△BDE,△CFD.
∴BE+CF=DE+DF=EF.
即BE+CF=EF.
可得△AEF的周长为18.
(3)BE-CF=EF.
提示:
∵EF//BC,
∴∠EDC=∠DCG=∠ACD.
∴CF=DF.同理得BE=ED.
又
∵ED-DF=EF,
∴BE-CF=EF.