《2025年初中同步学习导与练导学探究案八年级数学上册人教版》

(1)如图(1)所示,$OC平分\angle AOB$,$P为OC$上的一点,$\angle MPN的两边分别与OA$,$OB相交于点M$,$N$,若$\angle AOB = 90^{\circ}$,$\angle MPN = 90^{\circ}$,过点$P作PE \perp OA于点E$,$PF \perp OB于点F$,请判断$PM与PN$的数量关系,并说明理由.

答案： 解:PM=PN.理由如下:
∵OP平分∠AOB,PE⊥OA,PF⊥OB,
∴PE=PF,∠PEM=∠PFN=90°.
∵∠AOB=90°,∠MPN=90°,
∴∠PMO+∠PNO=180°.
∵∠PMO+∠PMA=180°,
∴∠PMA=∠PNO.
在△PEM和△PFN中,
∠PME=∠PNF,
∠PEM=∠PFN,
PE=PF,
∴△PEM≌△PFN(AAS),
∴PM=PN.

(2)如图(2)所示,已知$OC平分\angle AOB$,$P是OC$上一点,过点$P作PN \perp OB于点N$,$PM \perp OA于点M$,$PE边与OA边相交于点E$,$PF边与ON的反向延长线相交于点F$,$\angle NPM = \angle EPF$.
①$PE与PF$之间有怎样的数量关系? 为什么?
②若$OP = 2ON$,试判断$OE$,$OF$,$OP$三条线段之间的数量关系,并说明理由.

答案： ①PF=PE.
理由如下:
∵OC平分∠AOB,PN⊥OB,PM⊥OA,
∴∠POM=∠PON,PN=PM.
∵∠NPM=∠EPF,
∴∠NPF=∠MPE.
在△PNF和△PME中,
∠NPF=∠MPE,
PN=PM,
∠PNF=∠PME=90°,
∴△PNF≌△PME(ASA),
∴PF=PE.
②OE - OF=OP.
理由如下:在△OPN和△OPM中,
∠PNO=∠PMO,
∠PON=∠POM,
OP=OP,
∴△OPN≌△OPM(AAS),
∴ON=OM.
∵△PNF≌△PME,
∴FN=EM,
∴OE - OF=EM+OM - (FN - ON)=2ON.
∵OP=2ON,
∴OE - OF=OP.

(3)如图(3)所示,$OC平分\angle AOB$,$P为OC$上的一点,$\angle MPN的两边分别与OA$,$OB相交于点M$,$N$,若$\angle AOB = 120^{\circ}$,$\angle MPN = 60^{\circ}$,求证:$OP = OM + ON$.

答案： 证明:过点P作PE⊥OA于点E,过点P作PF⊥OB于点F,如图①所示,则∠PEM=∠PFN=90°.
又
∵OC平分∠AOB,
∴PE=PF.
∵∠AOB=120°,
∠MPN=60°,
∴∠PMO+∠PNO=180°.
∵∠PNO+∠PNF=180°,
∴∠PMO=∠PNF.
在△PME和△PNF中,
∠PMO=∠PNF,
∠PEM=∠PFN,
PE=PF,
∴△PME≌△PNF(AAS),
∴EM=FN.
∵∠AOB=120°,OP平分∠AOB,
∴∠AOP=∠BOP=60°,
∴∠EPO=∠FPO=30°,
∴OP=2OE,OP=2OF,
∴OP=OE+OF=OM+ON.