《2025年初中同步学习导与练导学探究案八年级数学上册人教版》

仿照上述方法解决下列问题：
(1)分解因式：$x^{2} + 5x + 6$；
分析：一次项为$○ + □ = 5$,常数项为$○×□ = 6$；则$○ =$2；$□ =$3；
$\therefore x^{2} + 5x + 6 = (x +$2$)(x +$3$)$.
(2)分解因式：$x^{2} - 8x + 15 = $$(x-3)(x-5)$；$3x^{2} - 5x - 12 = $$(3x+4)(x-3)$.
(3)若二次三项式$x^{2} + ax - 8$可以分解成两个一次因式乘积的形式,求整数$a$所有可能的值.
若$x^{2}+ax-8$可分解为两个一次因式的积,则整数a可能的情况如下:
$-8+1=-7$;$-1+8=7$;$-2+4=2$;$-4+2=-2$,
即整数a的所有可能的值是$\pm 7$,$\pm 2$.

答案：
(1)2 3 2 3
(2)$(x-3)(x-5)$ $(3x+4)(x-3)$
(3)若$x^{2}+ax-8$可分解为两个一次因式的积,则整数a可能的情况如下:
$-8+1=-7$;$-1+8=7$;$-2+4=2$;$-4+2=-2$,
即整数a的所有可能的值是$\pm 7$,$\pm 2$.

类型二 分组分解因式
2. 甲、乙两名同学进行的因式分解过程如下：
甲：$x^{2} - xy + 4x - 4y$
$= (x^{2} - xy) + (4x - 4y)$(分成两组)
$= x(x - y) + 4(x - y)$(直接提公因式)
$= (x - y)(x + 4)$.
乙：$a^{2} - b^{2} - c^{2} + 2bc$
$= a^{2} - (b^{2} + c^{2} - 2bc)$(分成两组)
$= a^{2} - (b - c)^{2}$(直接运用公式)
$= (a + b - c)(a - b + c)$(平方差公式).
请你在他们解法的启发下,把下列各式分解因式：
(1)$m^{3} - 2m^{2} - 4m + 8$；
(2)$x^{2} - 2xy + y^{2} - 9$.

答案：
(1)$(m-2)^{2}(m+2)$
(2)$(x-y+3)(x-y-3)$

类型三 配方法分解因式
3. 阅读材料：
把代数式通过配凑等手段,得到完全平方式,再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件,这种解题方法叫作配方法.
例题：分解因式：$a^{2} + 6a + 8$.
解：原式$= a^{2} + 6a + 9 - 1 = (a + 3)^{2} - 1 = (a + 3 - 1)(a + 3 + 1) = (a + 2)(a + 4)$.
请根据上述材料,解决下列问题：
(1)用配方法分解因式：$x^{2} - 16x + 60$；
(2)若$M = a^{2} - 2ab + 2b^{2} - 2b + 2$,利用配方法求$M$的最小值.

答案：
(1)原式$=x^{2}-16x+64-4$$=(x-8)^{2}-2^{2}$$=(x-8-2)(x-8+2)$$=(x-10)(x-6)$.
(2)$M=a^{2}-2ab+2b^{2}-2b+2=a^{2}-2ab+b^{2}+b^{2}-2b+1+1=(a-b)^{2}+(b-1)^{2}+1$.$\because (a-b)^{2}\geq 0$,$(b-1)^{2}\geq 0$,$\therefore$当$a=b=1$时,M有最小值1.