《2025年课时训练九年级数学上册苏科版江苏人民出版社》

12 (2024·湖北黄冈期中)已知$(x^{2}+y^{2})^{2}+6(x^{2}+y^{2})-7= 0$,则$x^{2}+y^{2}$的值为1.

答案： 1 [解析]设$x^{2}+y^{2}=z$,则原方程可换元为$z^{2}+6z-7=0$,用配方法解得$z_{1}=1,z_{2}=-7.$$\because x^{2}+y^{2}≥0,\therefore x^{2}+y^{2}=1.$

13 中考新考法 操作探究 (2024·常州期末)如图,在用配方法解一元二次方程$x^{2}+6x= 40$时,配方的过程可以用拼图直观地表示,即看成将一个长是$(x+6)$、宽是x、面积是40的矩形割补成一个正方形,则m的值是____3.

答案： 3 [解析]$x^{2}+6x=40,x^{2}+6x+9=40+9,(x+3)^{2}=49,$$\therefore m=3.$

14 中考新考法 思想方法型探究应用题 我们知道:任何有理数的平方都是一个非负数,即对于任何有理数,都有$a^{2}≥0$成立,所以当$a= 0$时,有最小值$a^{2}= 0.$
[应用](1)代数式$(x-1)^{2}$有最小值时,$x=$1;代数式$m^{2}+3$的最小值是3.
[探究]求代数式$n^{2}+4n+9$的最小值.
小明是这样做的:
$n^{2}+4n+9= n^{2}+4n+4+5= (n+2)^{2}+5,$
∴当$n= -2$时,代数式$n^{2}+4n+9$有最小值,最小值为5.
(2)请你参照小明的方法,求代数式$a^{2}-6a-3$的最小值,并求此时a的值.
$a^{2}-6a-3=a^{2}-6a+9-12=(a-3)^{2}-12,$
∴当$a=3$时,$a^{2}-6a-3$有最小值,最小值为-12.

答案：
(1)1 3
(2)$a^{2}-6a-3=a^{2}-6a+9-12=(a-3)^{2}-12,$
∴当$a=3$时,$a^{2}-6a-3$有最小值,最小值为-12.

(1)下面是小明用“平均数法”解方程$(x+2)\cdot (x+8)= 40$时写的解题过程:
解:原方程可变形,得$[(x+a)-b][(x+a)+b]= 40,(x+a)^{2}-b^{2}= 40,(x+a)^{2}= 40+b^{2},$
直接开平方,得$x_{1}= c,x_{2}= d.$
上述解题过程中的a、b、c、d所表示的数分别是5、3、2、-12.
(2)请用“平均数法”解方程:$(x-2)(x+6)= 4.$
原方程变形,得$[(x+2)-4][(x+2)+4]=4.$可以利用平方差得出$(x+2)^{2}-4^{2}=4$整理得$(x+2)^{2}=20,$解得$x_{1}=-2+2\sqrt {5},x_{2}=-2-2\sqrt {5}.$

答案：
(1)5、3、2、-12 [解析]原方程可变形,得$[(x+5)-3]\cdot [(x+5)+3]=40.(x+5)^{2}-3^{2}=40,(x+5)^{2}=40+3^{2}.$直接开平方并整理,得$x_{1}=2,x_{2}=-12$.故上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为5、3、2、-12.
(2)原方程变形,得$[(x+2)-4][(x+2)+4]=4.$可以利用平方差得出$(x+2)^{2}-4^{2}=4$整理得$(x+2)^{2}=20,$解得$x_{1}=-2+2\sqrt {5},x_{2}=-2-2\sqrt {5}.$