《2025年课时训练九年级数学上册苏科版江苏人民出版社》

2 (2025·上海浦东新区建平实验中学期末)因式分解:$2x^{2}-4x+1.$

答案： 【解析】：
本题考查的是利用配方法进行因式分解。
首先，我们观察原式$2x^{2}-4x+1$，可以发现它是一个二次多项式，并且二次项系数不为1，所以我们可以先提取公因式2，得到：
$2x^{2}-4x+1 = 2(x^{2}-2x)+1$
然后，我们注意到括号内的部分$x^{2}-2x$是一个完全平方的形式减去一个常数，即$(x-1)^{2}-1$，所以我们可以将其进行配方，得到：
$2(x^{2}-2x)+1 = 2[(x-1)^{2}-1]+1 = 2(x-1)^{2}-2+1 = 2(x-1)^{2}-1$
接着，我们利用平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$，将$2(x-1)^{2}-1$进行因式分解，为了应用平方差公式，我们可以将$2(x-1)^{2}-1$看作是$[\sqrt{2}(x-1)]^{2}-1^{2}$，于是有：
$2(x-1)^{2}-1 = [\sqrt{2}(x-1)+1][\sqrt{2}(x-1)-1] = (\sqrt{2}x-\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}x-\sqrt{2}-1)$
【答案】：
$2x^{2}-4x+1 = (\sqrt{2}x-\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}x-\sqrt{2}-1)$

变式2.1 (2025·山东威海环翠区期末)分解因式:$3x^{2}-2x+\frac {1}{3}.$

答案： 【解析】：
本题考查了使用配方法进行因式分解的知识点。配方法是一种通过对方程进行变形，使其形式更加易于处理的方法。在本题中，我们需要将二次项和一次项组合起来，并通过加上和减去相同的数，使其变为一个完全平方的形式，从而方便进行因式分解。
首先，我们观察原式$3x^{2}-2x+\frac{1}{3}$，可以发现，这个多项式可以通过提取公因式，并利用完全平方公式进行因式分解。我们将$3x^{2}-2x$进行配方，为了使其成为一个完全平方，我们需要加上和减去$(\frac{1}{3})^{2}$，这样我们可以将原式重写为$3(x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9})-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}$，即$3(x-\frac{1}{3})^{2}$。
【答案】：
解：原式
$=3(x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}-\frac{1}{9})+\frac{1}{3}$
$=3(x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9})-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}$
$=3(x-\frac{1}{3})^{2}$

变式2.2 分解因式:$2x^{2}-3xy-y^{2}.$

答案： 【解析】：
本题是一个二次多项式因式分解问题，需要使用到十字相乘法进行因式分解。
首先，我们需要找到两个数，它们的乘积等于二次项系数与常数项的乘积（即$2 × (-1) = -2$），且它们的和等于一次项的系数（即$-3$）。
这两个数分别是$-2$和$1$，因为$(-2) × 1 = -2$且$-2 + 1 = -1$（注意这里我们需要的是和为$-3$，但考虑到还有一个$x$的系数，所以实际组合时应为$-2x$和$x$，和为$-x$的系数$-1$再乘以2得到$-3x$，满足条件）。
然后，我们将原多项式按照十字相乘法进行分解。
【答案】：
解：原式$= 2x^{2} - 2xy + xy - y^{2}$
$= 2x(x - y) + y(x - y)$
$= (2x + y)(x - y)$。

3 (2025·湖北武汉硚口区期末改编)若x为任意实数,求代数式$x^{2}+4x+2$的最小值.

答案： 【解析】：
本题主要考查二次函数的最值问题，通过配方法将二次函数转化为顶点式，从而轻松求得最值。
首先，我们将代数式$x^{2}+4x+2$进行配方。
配方的一般步骤是先将常数项移到等式的另一边，然后观察一次项的系数，取其一半并求平方，加到等式的两边，从而将二次项和一次项组合成一个完全平方项。
具体到本题，我们有：
$x^{2}+4x+2$
$= x^{2}+4x+4-4+2$ （为了配方，我们加上和减去$4$，即一次项系数$4$的一半的平方）
$= (x+2)^{2}-2$ （此时，我们已经将原式转化为顶点式）
由于$(x+2)^{2}$是一个平方项，其值总是大于等于$0$，因此$(x+2)^{2}-2$的最小值就是当$(x+2)^{2}=0$时取得的，即$x=-2$时，原式取得最小值$-2$。
【答案】：
当$x=-2$时，代数式$x^{2}+4x+2$有最小值，是$-2$。

变式3.1 (2025·湖南娄底双峰期中改编)求代数式$-3x^{2}+6x-4$的最大值.

答案： 【解析】：
本题要求代数式$-3x^{2}+6x-4$的最大值，可以通过配方法将代数式转化为顶点式，从而轻松找到最大值。
首先，将原式进行配方：
原式$=-3x^{2}+6x-4$
$=-3(x^{2}-2x)-4$
为了完成配方，需要加上和减去$1^2$（因为$(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$）:
$=-3(x^{2}-2x+1-1)-4$
$=-3(x-1)^{2}+3-4$
$=-3(x-1)^{2}-1$
由于$(x-1)^{2}$始终非负，因此$-3(x-1)^{2}$始终非正，所以$-3(x-1)^{2}-1$在$x=1$时取得最大值，即$-1$。
【答案】：
$-1$

变式3.2 (2025·宁夏中卫中宁期中)阅读理解并解答:
[方法呈现]
(1)配方法在代数式求值、解方程、解决最值问题中都有着广泛的应用.
例如:$x^{2}+2x+3= (x^{2}+2x+1)+2= (x+1)^{2}+2.$
$\because (x+1)^{2}≥0,\therefore (x+1)^{2}+2≥2.$
则这个代数式$x^{2}+2x+3$的最小值为2,这时相应的x的值是-1.
[尝试应用]
(2)求代数式$x^{2}-8x+10$的最小或最大值.
[拓展提高]
(3)已知a、b、c是$\triangle ABC$的三边长,满足$a^{2}+b^{2}= 10a+8b-41$,求c的取值范围.
[答案]：【解析】：
(1)本题可通过配方法将代数式转化为完全平方式与常数的和的形式，再根据完全平方式的非负性来确定代数式的最值以及此时$x$的值。
对于$x^{2}+2x+3$，配方可得$(x + 1)^{2}+2$，因为$(x + 1)^{2}\geq0$，所以$(x + 1)^{2}+2\geq2$，当且仅当$x + 1 = 0$，即$x = - 1$时，代数式取得最小值$2$。
(2)本题同样使用配方法，将代数式$x^{2}-8x + 10$转化为完全平方式与常数的和的形式，再根据完全平方式的非负性来确定其最值。
(3)本题可先通过配方法将$a^{2}+b^{2}=10a + 8b - 41$转化为完全平方式的和为$0$的形式，从而求出$a$、$b$的值，再根据三角形三边关系求出$c$的取值范围。
【答案】：
(1)最小值为$2$，这时相应的$x$的值是$-1$。
(2)对$x^{2}-8x + 10$进行配方：
$\begin{aligned}x^{2}-8x + 10&=x^{2}-8x + 16 - 16 + 10\\&=(x - 4)^{2}-6\end{aligned}$
因为$(x - 4)^{2}\geq0$，所以$(x - 4)^{2}-6\geq - 6$，则代数式$x^{2}-8x + 10$的最小值为$-6$。
(3)由$a^{2}+b^{2}=10a + 8b - 41$可得：
$\begin{aligned}a^{2}-10a + b^{2}-8b + 41&=0\\a^{2}-10a + 25 + b^{2}-8b + 16&=0\\(a - 5)^{2}+(b - 4)^{2}&=0\end{aligned}$
因为一个数的平方是非负的，要使两个非负数的和为$0$，则这两个数都为$0$，所以可得$a - 5 = 0$，$b - 4 = 0$，解得$a = 5$，$b = 4$。
根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，可得$5 - 4\lt c\lt 5 + 4$，即$1\lt c\lt 9$。
综上，答案依次为：(1)$2$，$-1$；(2)最小值为$-6$；(3)$1\lt c\lt 9$。

答案： 【解析】：
(1)本题可通过配方法将代数式转化为完全平方式与常数的和的形式，再根据完全平方式的非负性来确定代数式的最值以及此时$x$的值。
对于$x^{2}+2x+3$，配方可得$(x + 1)^{2}+2$，因为$(x + 1)^{2}\geq0$，所以$(x + 1)^{2}+2\geq2$，当且仅当$x + 1 = 0$，即$x = - 1$时，代数式取得最小值$2$。
(2)本题同样使用配方法，将代数式$x^{2}-8x + 10$转化为完全平方式与常数的和的形式，再根据完全平方式的非负性来确定其最值。
(3)本题可先通过配方法将$a^{2}+b^{2}=10a + 8b - 41$转化为完全平方式的和为$0$的形式，从而求出$a$、$b$的值，再根据三角形三边关系求出$c$的取值范围。
【答案】：
(1)最小值为$2$，这时相应的$x$的值是$-1$。
(2)对$x^{2}-8x + 10$进行配方：
$\begin{aligned}x^{2}-8x + 10&=x^{2}-8x + 16 - 16 + 10\\&=(x - 4)^{2}-6\end{aligned}$
因为$(x - 4)^{2}\geq0$，所以$(x - 4)^{2}-6\geq - 6$，则代数式$x^{2}-8x + 10$的最小值为$-6$。
(3)由$a^{2}+b^{2}=10a + 8b - 41$可得：
$\begin{aligned}a^{2}-10a + b^{2}-8b + 41&=0\\a^{2}-10a + 25 + b^{2}-8b + 16&=0\\(a - 5)^{2}+(b - 4)^{2}&=0\end{aligned}$
因为一个数的平方是非负的，要使两个非负数的和为$0$，则这两个数都为$0$，所以可得$a - 5 = 0$，$b - 4 = 0$，解得$a = 5$，$b = 4$。
根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，可得$5 - 4\lt c\lt 5 + 4$，即$1\lt c\lt 9$。
综上，答案依次为：
(1)$2$，$-1$；
(2)最小值为$-6$；
(3)$1\lt c\lt 9$。