《2025年课时训练九年级数学上册苏科版江苏人民出版社》

12 已知等边三角形的外接圆半径为 2,则该等边三角形的边长是( ).

A.2
B.4
C.$\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$

答案：
12. D [解析] 如图,由⊙O是等边三角形ABC的外接圆,可知OB=OC=2,∠OBD=∠OCD=30°.过点O作OD⊥BC于点D,则BD=$\frac{1}{2}$BC,OD=$\frac{1}{2}$OB=1.在Rt△OBD中,BD=$\sqrt{OB²-OD²}$=$\sqrt{3}$.
∴BC=2BD=2$\sqrt{3}$.故选D.

13 (2025·扬州期末)Rt△ABC 的两直角边长分别为 5、12,则该三角形的外接圆半径是$\frac{13}{2}$.

答案： 13. $\frac{13}{2}$ [解析]
∵Rt△ABC的两直角边长分别为5、12,
∴斜边长为$\sqrt{5²+12²}$=13,
∴三角形的外接圆半径是$\frac{13}{2}$.

14 将图中的破轮子复原,已知弧上三点 A、B、C.
(1)画出该轮子的圆心；
(2)若△ABC 是等腰三角形,底边 BC = 16 cm,腰 AB = 10 cm,求轮子的半径 R.

答案：
14.
(1)如图,分别作弦AB和AC的垂直平分线,交点O即为所求的圆心.
(2)如图,连接OA、OB、OC,OA与BC交于点D.
∵AB=AC,OB=OC,
∴OA垂直平分BC.
∵BC=16 cm,
∴BD=8 cm.
∵AB=10 cm,
∴AD=6 cm.设轮子的半径为R,在Rt△BOD中,OD=(R-6)cm,
∴R²=8²+(R-6)²,解得R=$\frac{25}{3}$ cm.故轮子的半径R为$\frac{25}{3}$ cm.

15 如图,已知在四边形 ABCD 中,∠B = ∠D = 90°. 求证：四边形 ABCD 有外接圆.

答案： 15. 连接AC,取AC的中点O,连接BO、DO.在Rt△ACB中,AO=CO=BO,在Rt△ACD中,AO=DO=CO,
∴AO=CO=BO=DO.
∴点A、B、C、D均在以O为圆心,AO为半径的圆上,即四边形ABCD有外接圆.若四边形中有两个对角为90°,则四边形可以确定一个圆,且圆心为另一条对角线的中点.

16 中考新考法 新定义问题 我们知道,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 由此,我们可以引入如下新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点,叫做此三角形的准外心.
(1)如图(1),点 P 在线段 BC 上,∠ABP = ∠APD = ∠PCD = 90°,BP = CD,求证：点 P 是△APD 的准外心；
(2)如图(2),在 Rt△ABC 中,∠BAC = 90°,BC = 5,AB = 3,△ABC 的准外心 P 在△ABC 的直角边上,试求 AP 的长.

答案： 16.
(1)
∵∠ABP=∠APD=∠PCD=90°,
∴∠APB+∠PAB=90°,∠APB+∠DPC=90°,
∴∠PAB=∠DPC.在△ABP和△PCD中,{∠PAB=∠DPC,∠ABP=∠PCD,BP=CD,
∴△ABP≌△PCD(AAS),
∴AP=PD,
∴点P是△APD的准外心.
(2)
∵∠BAC=90°,BC=5,AB=3,
∴AC=$\sqrt{5²-3²}$=4.当点P在AB上,PA=PB时,则AP=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$;当点P在AC上,PA=PC时,则AP=$\frac{1}{2}$AC=2;当点P在AC上,PB=PC时,设AP=t,则PC=PB=4-t,在Rt△ABP中,3²+t²=(4-t)²,解得t=$\frac{7}{8}$,即此时AP=$\frac{7}{8}$.综上所述,AP的长为$\frac{3}{2}$或2或$\frac{7}{8}$.