《2025年课时训练九年级数学上册苏科版江苏人民出版社》

10 (2024·连云港期末)如图,在矩形纸片 $ABCD$ 中,$AB = 16$,$AD = 24$,将纸片裁成如图所示的扇形 $ABE$,若将此扇形围成圆锥侧面,则此圆锥的底面半径为______4.
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答案： 4 [解析]设圆锥的底面圆半径为$r$,依题意,得$2πr=\frac {90π×16}{180}$,解得$r=4$.故圆锥底面的半径为4.

11 如图,$8×8$ 的正方形网格纸上有扇形 $OAB$ 和扇形 $OCD$,点 $O$、$A$、$B$、$C$、$D$ 均在格点上. 若用扇形 $OAB$ 围成一个圆锥的侧面,记这个圆锥的底面半径为 $r_{1}$；若用扇形 $OCD$ 围成另一个圆锥的侧面,记这个圆锥的底面半径为 $r_{2}$,则 $\frac{r_{1}}{r_{2}}$ 的值为______$\frac {2}{3}$.

答案： $\frac {2}{3}$ [解析]根据扇形的弧长=圆锥底面圆的周长,即$\frac {nl}{180}=2πr$,可得$r_{1}=\frac {nl_{1}}{360}$,$r_{2}=\frac {nl_{2}}{360}$,
∴$\frac {r_{1}}{r_{2}}=\frac {l_{1}}{l_{2}}=\frac {OB}{OD}=\frac {2}{3}$.

12 如图,在正方形网格图中建立平面直角坐标系,一条圆弧经过网格点 $A(0,4)$、$B(-4,4)$、$C(-6,2)$,请在网格图中进行如下操作：
(1)若该圆弧所在圆的圆心为点 $D$,则点 $D$ 的坐标为______；
(2)连接 $AD$、$CD$,则圆 $D$ 的半径长为______(结果保留根号),$\angle ADC$ 的度数为______ $^{\circ}$；
(3)若扇形 $ADC$ 是一个圆锥的侧面展开图,求该圆锥的底面圆的半径长.
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答案：

(1)$(-2,0)$ [解析]如图,分别作$AB$、$BC$的垂直平分线,两直线交于点$D$,则点$D$即为该圆弧所在圆的圆心,由图形可知,点$D$的坐标为$(-2,0)$.
(2)$2\sqrt {5}$ $90$ [解析]圆$D$的半径长$=\sqrt {2^{2}+4^{2}}=2\sqrt {5}$,$AC^{2}=2^{2}+6^{2}=40$,$AD^{2}+CD^{2}=20+20=40$,则$AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}$,
∴$∠ADC=90^{\circ}$.
(3)设圆锥的底面圆的半径长为$r$,则$2πr=\frac {90π×2\sqrt {5}}{180}$,解得$r=\frac {\sqrt {5}}{2}$.

13 中考新考法 操作探究 如图,$AB$ 为圆锥轴截面 $\triangle ABC$ 的一边,一只蚂蚁从 $B$ 地出发,沿着圆锥侧面爬向 $AC$ 边的中点 $D$,其中 $AB = 6$,$OB = 3$,则蚂蚁爬行的最短距离为______.
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答案：
$3\sqrt {5}$ [解析]如图,圆锥的侧面展开图为扇形$CAC'$,设圆锥侧面展开图的圆心角为$n^{\circ}$. 根据题意,得$2π×3=\frac {n×π×6}{180}$, 解得$n=180$,
∴$∠CAB'=90^{\circ}$.
∵$D$为$AC$的中点,
∴$AD=3$,在$Rt△ADB'$中,$B'D=\sqrt {3^{2}+6^{2}}=3\sqrt {5}$,
∴蚂蚁爬行的最短距离为$3\sqrt {5}$.

14 中考新考法 操作探究 如图(1),已知扇形纸片 $AOB$,$\angle AOB = 60^{\circ}$,半径 $OA = 3$.
(1)求扇形 $AOB$ 的面积 $S$ 及图中阴影部分的面积 $S_{阴影}$.
(2)如图(2),在扇形 $AOB$ 的内部,$\odot O_{1}$ 与 $OA$、$OB$ 都相切,且与 $\overset{\frown}{AB}$ 只有一个交点 $C$,此时我们称 $\odot O_{1}$ 为扇形 $AOB$ 的内切圆,试求 $\odot O_{1}$ 的面积 $S_{1}$.
(3)如图(3),在扇形纸片 $AOB$ 中,剪出一个扇形 $DOE$,若用剪得的扇形纸片 $DOE$ 围成一个圆锥的侧面,能否从剪下的余料中,再剪出一个圆作为这个圆锥的底面,并使得这个圆锥的表面积最大？若能,请求出这个圆锥的表面积；若不能,请说明理由.
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答案：

(1)
∵$∠AOB=60^{\circ}$,半径$OA=3$,
∴$S=\frac {60π×3^{2}}{360}=\frac {3π}{2}$.
∵$OA=OB$,$∠AOB=60^{\circ}$,
∴$△OAB$是等边三角形. 过点$O$作$OC⊥AB$于点$C$,则$∠AOC=∠BOC=30^{\circ}$,
∴$AC=\frac {1}{2}OA=\frac {3}{2}$. 在$Rt△AOC$中,由勾股定理,得$OC=\sqrt {OA^{2}-AC^{2}}=\frac {3\sqrt {3}}{2}$,
∴$S_{△OAB}=\frac {1}{2}AB\cdot OC=\frac {1}{2}×3×\frac {3\sqrt {3}}{2}=\frac {9\sqrt {3}}{4}$,
∴阴影部分的面积$S_{阴影}=\frac {3π}{2}-\frac {9\sqrt {3}}{4}$.
(2)如图,设$\odot O_{1}$与$OA$相切于点$E$,连接$O_{1}O$、$O_{1}E$.
∵相切两圆的连心线必过切点,
∴$O$、$O_{1}$、$C$三点共线.
∴$∠EOO_{1}=\frac {1}{2}∠AOB=\frac {1}{2}×60^{\circ}=30^{\circ}$,$∠OEO_{1}=90^{\circ}$,
∴$O_{1}E=\frac {1}{2}OO_{1}$,
∴$\odot O_{1}$的半径$O_{1}E=\frac {1}{3}OA=1$,
∴$S_{1}=1^{2}×π=π$.
(3)设圆锥的底面圆的半径为$r$,圆锥的表面积为$S$,
∴$S=πr^{2}+\frac {60π(3-2r)^{2}}{360}=πr^{2}+\frac {π(3-2r)^{2}}{6}=πr^{2}+\frac {π(9-12r+4r^{2})}{6}=\frac {5π}{3}(r^{2}-\frac {6}{5}r+\frac {9}{10})$. 又$2πr=\frac {60π(3-2r)}{180}$,
∴$r=\frac {3}{8}$. 当$r=\frac {3}{8}$时,$S$有最大值为$\frac {63π}{64}$.