《2025年课时训练九年级数学上册苏科版江苏人民出版社》

1 (2025·河北邯郸期中)用配方法解方程:$(2x-1)^{2}= 4x+9.$
解:整理,得4x²-8x-8=0,移项,得4x²-8x=8,二次项系数化为1,得x²-2x=2,配方,得x²-2x+1=2+1,即(x-1)$^{2}= $3,开方,得x-1=±√3,解得$x_{1}= $1+√3,$x_{2}= $1-√3.

答案： 4x²-8x-8=0，4x²-8x=8，x²-2x=2，x²-2x+1=2+1，x-1，3，x-1=±√3，1+√3，1-√3

变式1.1 (2025·扬州高邮期末)解方程:$x^{2}+6x-5= 0.$

答案：
∵x²+6x-5=0，
∴x²+6x=5,则x²+6x+9=5+9，即(x+3)²=14.
∴x+3=±√14，
∴x₁=-3+√14,x₂=-3-√14.

变式1.2 (2025·江西景德镇期中)请用配方法讨论关于x的一元二次方程$x^{2}-2x-c+2= 0$的根的情况.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的根的情况，可以通过配方法来判断。
首先，将原方程$x^{2}-2x-c+2= 0$进行配方，
得到$(x-1)^{2}=c-1$。
然后，根据配方的结果，我们可以分析出方程的根的情况：
当$c ＞ 1$时，方程有两个不相等的实数根；
当$c = 1$时，方程有两个相等的实数根；
当$c ＜ 1$时，方程没有实数根。
【答案】：
解：原方程可变形为：
$x^{2} - 2x +1-1-c+2= 0$，
即$(x-1)^{2}=c-1$，
当$c ＞ 1$时，$x-1=\pm \sqrt{c-1}$，
$x_{1} = 1 + \sqrt{c-1}$，
$x_{2} = 1 - \sqrt{c-1}$；
当$c = 1$时，$x_{1} =x_{2} = 1$；
当$c ＜ 1$时，方程无实数根。

变式1.3 (2025·重庆江北区期末)下面是小明同学解一元二次方程$3x^{2}+8x-3= 0$的过程,请认真阅读并完成相应任务.
解:二次项系数化为1,
得$x^{2}+\frac {8}{3}x-1= 0$,……第一步
配方,得$x^{2}+\frac {8}{3}x+(\frac {4}{3})^{2}-1= 0$,……第二步
$(x+\frac {4}{3})^{2}-1= 0$,……第三步
$(x+\frac {4}{3})^{2}= 1$.……第四步
由此可得$x+\frac {4}{3}= \pm 1$,……第五步
解得$x_{1}= -\frac {1}{3},x_{2}= -\frac {7}{3}$.……第六步
[任务一]填空:
①上述小明同学解此一元二次方程的方法是配方法,依据的数学公式是完全平方公式;
②第二步开始出现错误,错误的原因是配方时，只在等式一边加上了$(\frac{4}{3})^{2}$，没有保持等式的平衡.
[任务二]请你写出该方程的正确求解过程.
解：将原方程$3x^2 + 8x - 3 = 0$的二次项系数化为1，得$x^2 + \frac{8}{3}x - 1 = 0$。移项，得$x^2 + \frac{8}{3}x = 1$。配方，得$x^2 + \frac{8}{3}x + (\frac{4}{3})^2 = 1 + (\frac{4}{3})^2$，即$(x + \frac{4}{3})^2 = \frac{25}{9}$。开方，得$x + \frac{4}{3} = \pm \frac{5}{3}$。解得$x_1 = \frac{1}{3}$，$x_2 = -3$。

答案： 【解析】：
一、任务一主要考察的是对一元二次方程解法的理解和识别，以及配方过程中可能出现的问题。
①小明同学使用的方法是通过配方来解一元二次方程，这种方法称为配方法。配方法的关键步骤是将二次方程转化为一个完全平方的形式，从而更容易求解。这依据的数学公式主要是完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。
②在检查小明的解题过程时，可以发现第二步开始出现错误。在配方的过程中，小明正确地添加了$(\frac{4}{3})^2$，但错误地没有在等式另一边也加上这个值。配方要求等式两边同时加上或减去相同的值，以保持等式的平衡。因此，这一步的错误是没有在等式另一边也加上$(\frac{4}{3})^2$。
二、任务二要求写出该方程的正确求解过程。
首先，将原方程$3x^2 + 8x - 3 = 0$的二次项系数化为1，得到$x^2 + \frac{8}{3}x - 1 = 0$。
然后，进行配方。为了配方，需要找到一个数，使得$x^2 + \frac{8}{3}x$可以转化为一个完全平方的形式。这个数是$(\frac{4}{3})^2$，因为$\frac{8}{3} ÷ 2 = \frac{4}{3}$。所以，在等式两边同时加上$(\frac{4}{3})^2$，得到$x^2 + \frac{8}{3}x + (\frac{4}{3})^2 = 1 + (\frac{4}{3})^2$。
简化后，得到$(x + \frac{4}{3})^2 = \frac{25}{9}$。
接下来，对方程进行开方，得到$x + \frac{4}{3} = \pm \frac{5}{3}$。
最后，解出$x$，得到$x_1 = \frac{1}{3}$，$x_2 = -3$。
【答案】：
任务一：
①配方法；完全平方公式。
②二；配方时，只在等式一边加上了$(\frac{4}{3})^2$，没有保持等式的平衡。
任务二：
解：
1. 将原方程$3x^2 + 8x - 3 = 0$的二次项系数化为1，得到$x^2 + \frac{8}{3}x - 1 = 0$。
2. 进行配方，得到$x^2 + \frac{8}{3}x + (\frac{4}{3})^2 = 1 + (\frac{4}{3})^2$。
3. 简化后，得到$(x + \frac{4}{3})^2 = \frac{25}{9}$。
4. 对方程进行开方，得到$x + \frac{4}{3} = \pm \frac{5}{3}$。
5. 解出$x$，得到$x_1 = \frac{1}{3}$，$x_2 = -3$。