《2025年课时训练九年级数学上册苏科版江苏人民出版社》

12 关于x的一元二次方程$x^{2}+2mx+2m-1= 0$的根的情况,下列说法正确的是(D).
A.有两个不相等的实数根
B.必有两个正根
C.必有两个负根
D.必有一个实数根为$x= -1$

答案： D [解析]$\because x^{2}+2mx+2m-1=0$,
$\therefore (x+1)[x+(2m-1)]=0$,
解得$x_{1}=-1$,$x_{2}=1-2m$,
$\therefore$原方程必有一个实数根为$x=-1$.故选D.

13 小明在解一元二次方程$x^{2}= 2x$时,只得到一个根$x= 2$,则被他漏掉的一个根是$x= $0.

答案： 0

14 已知关于x的方程$ax^{2}+bx+c= 3的解与(x-1)(x-4)= 0$的解相同,则$a+b+c$的值为3.

答案： 3

15 解方程:
(1)$(x-2)^{2}-9= 0$;
(2)$3x^{2}-2x-1= 0$;
(3)$x(x-2)+x-2= 0$.

答案：
(1)原方程可变形为$(x-2+3)(x-2-3)=0$,即$(x+1)\cdot (x-5)=0$,$x+1=0$或$x-5=0$,
$\therefore x_{1}=-1$,$x_{2}=5$.
(2)原方程可变形为$(3x+1)(x-1)=0$,$3x+1=0$或$x-1=0$,$\therefore x_{1}=-\frac{1}{3}$,$x_{2}=1$.
(3)原方程可变形为$x(x-2)+(x-2)=0$,
即$(x-2)(x+1)=0$,$\therefore x-2=0$或$x+1=0$,
$\therefore x_{1}=2$,$x_{2}=-1$.

16 已知直角三角形一边长为8,另一边长是方程$x^{2}-8x-20= 0$的根,求第三边的长.

答案： $x^{2}-8x-20=0$,$(x-10)(x+2)=0$,
所以$x_{1}=10$,$x_{2}=-2$(不符合题意,舍去),所以另一边长是10.
①若10为斜边,则由勾股定理得第三条边长是$\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6$;②若10是直角边,则此直角三角形的第三条边长是$\sqrt{10^{2}+8^{2}}=2\sqrt{41}$.

(1)方程$x^{3}+x^{2}-2x= 0的解是x_{1}= 0,x_{2}= $-2,$x_{3}= $1;
(2)用“转化”的思想求方程$\sqrt {2x+3}= x$的解;
将原方程两边平方,得$2x+3=x^{2}(x\geq0)$,即$x^{2}-2x-3=0$,可变形为$(x+1)(x-3)=0$,则$x+1=0$或$x-3=0$,解得$x_{1}=-1$(舍去),$x_{2}=3$,所以原方程的解是$x=3$.
(3)试直接写出方程组$\left\{\begin{array}{l} x^{2}-4y^{2}= 0,\\ x+y= 1\end{array} \right. $的解.
$\left\{\begin{array}{l} x_{1}=2,\\ y_{1}=-1\end{array}\right. $或$\left\{\begin{array}{l} x_{2}=\frac{2}{3},\\ y_{2}=\frac{1}{3}\end{array}\right. $

答案：
(1)-2 1 [解析]$x^{3}+x^{2}-2x=0$,$x(x^{2}+x-2)=0$,
通过因式分解将方程降次即可得解
$x(x+2)(x-1)=0$,
$x=0$或$x+2=0$或$x-1=0$,解得$x_{1}=0$,$x_{2}=-2$,$x_{3}=1$.
(2)将原方程两边平方,得$2x+3=x^{2}(x\geq0)$,即$x^{2}-2x-3=0$,可变形为$(x+1)(x-3)=0$,
则$x+1=0$或$x-3=0$,解得$x_{1}=-1$(舍去),$x_{2}=3$,
所以原方程的解是$x=3$.
(3)$\left\{\begin{array}{l} x^{2}-4y^{2}=0,\enclose{circle}{1}\\ x+y=1.\enclose{circle}{2}\end{array}\right. $
由②,得$y=1-x$,③
把③代入①,得$x^{2}-4(1-x)^{2}=0$,
化简,得$-3x^{2}+8x-4=0$,
解得$x=2$或$x=\frac{2}{3}$.
当$x=2$时,$y=-1$;当$x=\frac{2}{3}$时,$y=\frac{1}{3}$.
所以原方程组的解为$\left\{\begin{array}{l} x_{1}=2,\\ y_{1}=-1\end{array}\right. $或$\left\{\begin{array}{l} x_{2}=\frac{2}{3},\\ y_{2}=\frac{1}{3}.\end{array}\right. $