《2025年课时训练九年级数学上册苏科版江苏人民出版社》

15(2025·扬州宝应期末)如图,$\odot O$的直径AB的长度为定值a,AM和BN是它的两条切线,DE与$\odot O$相切于点E,并与AM、BN分别相交于D、C两点,设$AD= x$,$BC= y$,当x、y的值变化时,下列代数式的值不变的是( )。

A.$x-y$
B.$x+y$
C.$xy$
D.$x^{2}+y^{2}$

答案：
C　[解析]作DF⊥BN交BC于点F.
　　　　　　　　
∵AM、BN与⊙O切于点A、B,
∴AB⊥AM,AB⊥BN.
又DF⊥BN,
∴∠BAD=∠ABC=∠BFD=90°,
∴四边形ABFD是矩形,
∴BF=AD=x,DF=AB=a.
∵BC=y,
∴FC=BC−BF=y−x.
∵DE切⊙O于点E,
∴DE=DA=x,CE=CB=y,
则DC=DE+CE=x+y,
在Rt△DFC中,由勾股定理,得(x+y)²=(y−x)²+a²,
∴xy=$\frac{a^2}{4}$,
∴代数式的值不变的是xy.故选C.

16 如图,$\odot O与∠ABC$的两边分别相切于点D、E,点F为$\odot O$上一点(不与D、E重合),若$∠ABC= 50^{\circ}$,则$∠DFE= $65°或115°。

答案： 65°或115°　[解析]连接OD、OE,根据切线的性质，得∠BDO=∠BEO=90°.又∠ABC=50°,
∴∠DOE =130°.
当点F在优弧DE上时,∠DFE=65°;
当点F在劣弧DE上时，根据圆的内接四边形对角互补，得∠DFE=115°.

17 如图,直线$a⊥b$,垂足为H,点P在直线b上,$PH= 4cm$,O为直线b上一动点,若以1cm为半径的$\odot O$与直线a相切,则OP的长为3cm或5cm。

答案： 3cm或5cm

18 如图,在扇形AOB中,点C、D在$\overset{\frown}{AB}$上,连接AD、BC交于点E,若$∠AOB= 120^{\circ}$,$\overset{\frown}{CD}的度数为50^{\circ}$,则$∠AEB= $____$^{\circ}$。

答案：
145　[解析]如图,作$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角∠APB，连接OC、OD、BD.
∵∠APB=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×120°=60°,
∴∠ADB=180°−∠APB=180°−60°=120°.
∵$\overset{\frown}{CD}$的度数为50°,
∴∠COD=50°,
∴∠CBD=$\frac{1}{2}$∠COD=25°.
∵∠AEB=∠EDB+∠EBD,
∴∠AEB=120°+25°=145°.
　　　　　　　　　　　　　　　　
归纳总结　本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半,也考查了圆心角、弧、弦之间的关系.

19 已知CD是$\odot O$的直径,AB是$\odot O$的弦,且$AB⊥CD$,垂足为M。若$AB= 10cm$,$CD= 26cm$,则AC的长为____。

答案：
5$\sqrt{26}$cm或$\sqrt{26}$cm　[解析]如图,当点C与点M在圆心O的两侧时，连接OA.
∵CD⊥AB,AB=10cm,
∴AM=BM=$\frac{1}{2}$AB=5cm.
∵CD=26cm,
　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴OA=OC=13cm,
∴OM=$\sqrt{OA^2-AM^2}=\sqrt{13^2-5^2}$=12(cm),
∴CM=CO+OM=25cm,
∴AC=$\sqrt{AM^2+CM^2}=\sqrt{5^2+25^2}$=5$\sqrt{26}$(cm).
同理,当点C与点M在圆心O的同侧时，易得CM=OC−OM=1cm,则AC=$\sqrt{CM^2+AM^2}=\sqrt{1^2+5^2}=\sqrt{26}$(cm).
故AC的长为5$\sqrt{26}$cm或$\sqrt{26}$cm.
易错警示　几何图形不确定时，画图可能有多种不同的情况，需分类讨论.

20(2024·常州期中)如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,以AB为直径的$\odot O$交BC于点D,过点D作$EF⊥AC$于点E,交AB的延长线于点F。
(1)求证：EF是$\odot O$的切线；
(2)当$AB= 5$,$BC= 6$时,求DE的长。

答案：
(1)连接OD,
∵AB=AC,
∴∠C=∠OBD.
∵OD=OB,
∴∠ODB=∠OBD,
∴∠ODB=∠C,
∴OD//AC.
∵EF⊥AC,
∴EF⊥OD.
∵OD为圆O的半径，
∴EF是⊙O的切线.
(2)连接AD,
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°.
又AB=AC,且BC=6,
∴CD=BD=$\frac{1}{2}$BC=3.
在Rt△ACD中,AC=AB=5,CD=3,根据勾股定理,得AD=$\sqrt{AC^2-CD^2}$=4.
∵S△ACD=$\frac{1}{2}$AC·ED=$\frac{1}{2}$AD·CD,即$\frac{1}{2}$×5×ED=$\frac{1}{2}$×4×3,
∴ED=$\frac{12}{5}$.

21 如图,$\triangle ABC的内切圆\odot O$与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F。
(1)若$∠ABC= 50^{\circ}$,$∠ACB= 75^{\circ}$,求$∠BOC$的度数；
(2)若$AB= 13$,$BC= 11$,$AC= 10$,求AF的长。

答案：
(1)
∵△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,
∴∠DBO=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠DCO=$\frac{1}{2}$∠ACB,
∴∠DBO+∠DCO=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=$\frac{1}{2}$×(50°+75°)=62.5°,
∴在△BOC中,∠BOC=180°−(∠DBO+∠DCO)=180°−62.5°=117.5°.
(2)
∵⊙O是△ABC的内切圆,
∴AE=AF,BD=BF,CD=CE.
设AE=x,BD=y,CD=z,
∵AB=13,BC=11,AC=10,
∴x+y=13,x+z=10,y+z=11,
解得x=6,y=7,z=4,
∴AF=6.

22 如图,在圆心角为$90^{\circ}$的扇形ACB内,以BC为直径作半圆,连接AB。若阴影部分的面积为$(π-1)$,则$AC= $____。

答案：
2　[解析]如图,将原图区域划分为四部分,阴影部分的面积分别为S₁、S₂;两块空白的面积分别为S₃、S₄,连接DC.
由已知,得△ABC为等腰直角三角形,
S₁+S₂=π−1.
∵BC为直径,
∴∠CDB=90°,
即CD⊥AB,
∴CD=DB=DA,
∴点D为$\overset{\frown}{BC}$的中点,由对称性可知,$\overset{\frown}{CD}$与弦CD围成的面积与S₃相等.
设AC=BC=x,
则S扇形ACB - S₃ - S₄=S₁+S₂,
其中S扇形ACB=$\frac{90πx^2}{360}=\frac{πx^2}{4}$,
S₄=S△ACD - S₃=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}x^2$-S₃=$\frac{x^2}{4}$-S₃,
∴S₁+S₂=$\frac{πx^2}{4}$-S₃-($\frac{x^2}{4}$-S₃)=π-1,
∴x₁=2,x₂=-2(舍去).故AC=2.
　　　　　　　　　　　　　　　　
思路引导　本题考查几何图形面积的求法，用割补法结合扇形面积公式以及三角形面积公式即可求解.

23 中考新考法 新定义问题 定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点,截得的三条弦相等,我们把这个圆叫作“等弦圆”,现在有一个斜边长为4的等腰直角三角形,当等弦圆最大时,这个圆的半径为____。

答案：
4 - 2$\sqrt{2}$　[解析]如图,
∵圆与三角形的三条边都有两个交点,截得的三条弦相等,
∴圆心O就是三角形的内心,此时在等腰直角三角形ABC的三边上截得的弦相等，即CG=CF=DE,
∴当⊙O过点C时,⊙O最大，过点O分别作弦CG、CF、DE的垂线，垂足分别为P、N、M,连接OC、OA、OB.
∵CG=CF=DE,
∴OP=OM=ON.
∵∠C=90°,AB=4,AC=BC,
∴AC=BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×4=2$\sqrt{2}$.
∵S△AOC + S△BOC + S△AOB=S△ABC,
∴$\frac{1}{2}$AC·OP + $\frac{1}{2}$BC·ON + $\frac{1}{2}$AB·OM=S△ABC=$\frac{1}{2}$AC·BC.
设OM=x,则OP=ON=x,
∴2$\sqrt{2}$x + 2$\sqrt{2}$x + 4x=2$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$,
解得x=2$\sqrt{2}$-2,即ON=2$\sqrt{2}$-2.
在Rt△CON中,OC=$\sqrt{2}$ON=4-2$\sqrt{2}$.
∴⊙O的半径为 4 - 2$\sqrt{2}$.