《2025年课时训练九年级数学上册苏科版江苏人民出版社》

10 如图,以AB为直径的半圆沿弦BC折叠后,AB与$\widehat {CB}$相交于点D.若$\widehat {CD}= \frac {1}{3}\widehat {BD}$,则$∠B= $18$^{\circ }$.

答案： 18　[解析]连接OC.
∵∠ABC=∠DBC，
∴$\overset{\frown}{AC}$=$\overset{\frown}{CD}$.
∵$\overset{\frown}{CD}$=$\frac{1}{3}$$\overset{\frown}{BD}$，
∴$\overset{\frown}{AC}$=$\frac{1}{4}$$\overset{\frown}{BC}$，
∴$\overset{\frown}{AC}$=$\frac{1}{5}$$\overset{\frown}{AB}$，
∴∠AOC=$\frac{1}{5}$×180°=36°.
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B.
∵∠AOC=∠B+∠OCB，
∴∠B=$\frac{1}{2}$∠AOC=18°.

11 如图,$\odot O$的两条弦AB和CD相交于点P,若弧AC、弧BD的度数分别为$60^{\circ }$、$40^{\circ }$,则$∠APC$的度数为50°.

答案： 50°　[解析]连接BC、OA、OC.
∵弧AC为60°，
∴∠AOC=60°，
∴∠ABC=30°.同理，∠DCB=20°，
∴∠APC=∠ABC+∠DCB=50°.

12 (2025·宁波余姚子陵中学模拟)如图(1),AB为$\odot O$的直径,$CD⊥AB$于点E,$\widehat {CF}= \widehat {CB}$,BF与CD交于点G.

(1)求证：$CD= BF$；
(2)若$BE= 1$,$BF= 4$,求OE的长；
(3)连接GO、OF,如图(2),求证：$2∠EOG+\frac {1}{2}∠AOF= 90^{\circ }$.

答案：
(1)
∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴$\overset{\frown}{BC}$=$\overset{\frown}{BD}$.
∵$\overset{\frown}{CF}$=$\overset{\frown}{CB}$，
∴$\overset{\frown}{CF}$=$\overset{\frown}{BC}$=$\overset{\frown}{BD}$，
∴$\overset{\frown}{BD}$+$\overset{\frown}{BC}$=$\overset{\frown}{BC}$+$\overset{\frown}{CF}$，即$\overset{\frown}{CD}$=$\overset{\frown}{BF}$，
∴CD=BF.
(2)如图
(1)，连接OD.由
(1)，得$\overset{\frown}{CF}$=$\overset{\frown}{BD}$，CD=BF=4.
∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴DE=CE=$\frac{1}{2}$CD=2.设OD=r，在Rt△OED中，OE²+DE²=OD²，即r²=(r-1)²+2²，解得r=$\frac{5}{2}$，
∴OE=r-1=$\frac{3}{2}$，
∴OE的长度为$\frac{3}{2}$.
(3)如图
(2)，连接OC交BF于点I，连接BC.由
(1)，得$\overset{\frown}{CF}$=$\overset{\frown}{BD}$，
∴∠FBC=∠BCD，
∴BG=CG.在△OCG和△OBG中，$\left\{\begin{array}{l}OC=OB,\\ OG=OG,\\ CG=BG,\end{array}\right.$
∴△OCG≌△OBG(SSS)，
∴∠COG=∠BOG，
∴∠IOB=2∠EOG.
∵$\overset{\frown}{AF}$=$\overset{\frown}{AF}$，
∴$\frac{1}{2}$∠AOF=∠OBF.
∵OF=OB，$\overset{\frown}{CF}$=$\overset{\frown}{CB}$，OC为半径，
∴OC⊥BF，
∴∠OIB=90°，
∴∠IOB+∠IBO=90°，
∴2∠EOG+$\frac{1}{2}$∠AOF=90°.

(1)请写出一个“勾股方程”：3x²+5$\sqrt{2}$x+4=0(答案不唯一)；
(2)求证：关于x的“勾股方程”$ax^{2}+\sqrt {2}cx+b= 0$必有实数根；
∵关于x的方程ax²+$\sqrt{2}$cx+b=0是“勾股方程”，
∴a²+b²=c²且c≠0.①当a≠0时，Δ=($\sqrt{2}$c)²-4ab=2c²-4ab=2(a²+b²)-4ab=2(a²+b²-2ab)=2(a-b)²≥0，
∴方程有两个实数根；②当a=0时，方程为$\sqrt{2}$cx+b=0，c≠0，
∴该方程有实数根，
∴“勾股方程”必有实数根.
(3)如图,已知AB、CD是半径为1的$\odot O$的两条平行弦,$AB= a$,$CD= b$,且关于x的方程$\frac {a}{2}x^{2}+\sqrt {2}x+\frac {b}{2}= 0$是“勾股方程”,求$∠A$的度数.
如图，过点O作OE⊥AB于点E，延长EO交CD于点F，连接OB、OC.
∵DC//AB，
∴EF⊥CD，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$a，CF=DF=$\frac{1}{2}$b.
∵BE²+OE²=OB²，
∴($\frac{a}{2}$)²+OE²=1².
∵$\frac{a}{2}$x²+$\sqrt{2}$x+$\frac{b}{2}$=0是“勾股方程”，
∴($\frac{a}{2}$)²+($\frac{b}{2}$)²=1²，
∴OE=$\frac{b}{2}$=CF.
∵OB=OC，
∴Rt△BOE≌Rt△OCF(HL)，
∴∠FOC=∠OBE.
∵∠OBE+∠EOB=90°，
∴∠FOC+∠EOB=90°，
∴∠COB=90°，
∴∠A=$\frac{1}{2}$∠COB=45°.

答案：
(1)3x²+5$\sqrt{2}$x+4=0(答案不唯一)
(2)
∵关于x的方程ax²+$\sqrt{2}$cx+b=0是“勾股方程”，
∴a²+b²=c²且c≠0.①当a≠0时，Δ=($\sqrt{2}$c)²-4ab=2c²-4ab=2(a²+b²)-4ab=2(a²+b²-2ab)=2(a-b)²≥0，
∴方程有两个实数根；②当a=0时，方程为$\sqrt{2}$cx+b=0，c≠0，
∴该方程有实数根，
∴“勾股方程”必有实数根.
(3)如图，过点O作OE⊥AB于点E，延长EO交CD于点F，连接OB、OC.
∵DC//AB，
∴EF⊥CD，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$a，CF=DF=$\frac{1}{2}$b.
∵BE²+OE²=OB²，
∴($\frac{a}{2}$)²+OE²=1².
∵$\frac{a}{2}$x²+$\sqrt{2}$x+$\frac{b}{2}$=0是“勾股方程”，
∴($\frac{a}{2}$)²+($\frac{b}{2}$)²=1²，
∴OE=$\frac{b}{2}$=CF.
∵OB=OC，
∴Rt△BOE≌Rt△OCF(HL)，
∴∠FOC=∠OBE.
∵∠OBE+∠EOB=90°，
∴∠FOC+∠EOB=90°，
∴∠COB=90°，
∴∠A=$\frac{1}{2}$∠COB=45°.