《2025年课时训练九年级数学上册苏科版江苏人民出版社》

1 如图,AB是$\odot O$的直径,弦$CD⊥AB$于点H,交$\odot O$于点D,CE平分$∠DCO交\odot O$于点E,求证:E为$\widehat {ADB}$的中点.

答案：
如图,连接OE.
∵OC=OE,
∴∠OCE=∠E.
∵CE平分∠DCO,
∴∠OCE=∠DCE,
∴∠DCE=∠E,
∴OE//CD.
∵弦CD⊥AB,
∴OE⊥AB,
∴E为$\overset{\frown}{ADB}$的中点.

变式1.1 (2025·天津红桥区期末)如图,AB为$\odot O$的直径,PD切$\odot O$于点C,交AB的延长线于点D.
(1)如图(1),若$∠D= 50^{\circ }$,求$∠PCA$的大小;
(2)如图(2),若$CA= CD$,求$∠PCA$的大小.

答案：

(1)如图
(1),连接OC.
∵PD切$\odot O$于点C,
∴OC⊥PD,
∴∠OCD=90°.
∵∠D=50°,
∴∠COD=90° - 50°=40°,
∴∠A=$\frac{1}{2}$∠COD=20°,
∴∠PCA=∠A+∠D=20°+50°=70°.

(2)如图
(2),连接OC,设∠A=x.
∵CA=CD,
∴∠D=∠A=x.
∵PD切$\odot O$于点C,
∴OC⊥PD,
∴∠OCD=90°.
∵∠COD=2∠A=2x,
∴2x+x=90°,解得x=30°,
∴∠PCA=∠A+∠D=2x=60°.

2 如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点,若$AB= 10cm,CD= 6cm$.
(1)求证:$AC= BD;$
(2)若大圆半径为7 cm,求小圆的半径.

答案：

(1)如图,作OE⊥AB,垂足为E.
由垂径定理知,点E是CD的中点,也是AB的中点,
∴AE=BE,CE=DE,
∴AE - CE=BE - DE,
∴AC=BD.
(2)如图,连接OA、OC,
在Rt△AOE中,AE=$\frac{1}{2}$AB = 5cm,OA = 7cm,
∴OE = $\sqrt{OA^2 - AE^2}=\sqrt{7^2 - 5^2}=2\sqrt{6}$(cm),
在Rt△OCE中,CE = $\frac{1}{2}$CD = 3cm,

∴OC = $\sqrt{OE^2 + CE^2}=\sqrt{(2\sqrt{6})^2 + 3^2}=\sqrt{33}$(cm),
即小圆的半径为$\sqrt{33}$cm.

变式2.1 (2024·浙江绍兴嵊州期中)如图,AB、CD为$\odot O$两弦,且$AB= CD$,M、N分别为AB、CD的中点,求证:$∠AMN= ∠CNM.$

答案：
如图,连接OM、ON、OA、OD.
∵M、N分别为AB、CD的中点,
∴OM⊥AB,ON⊥CD,
∴∠AMO = ∠CNO = 90°.
∵AB = CD,
∴AM = DN,易证△OAM≌△ODN,
∴OM = ON,
∴∠OMN = ∠ONM,
∴∠AMO - ∠OMN = ∠CNO - ∠ONM,
∴∠AMN = ∠CNM.

3 如图,圆内接四边形ABCD的外角$∠DCH= ∠DCA,DP⊥AC$垂足为P,$DH⊥BH$垂足为H,求证:$CH= CP,AP= BH.$

答案：
在△DHC与△DPC中,
∵∠DCH = ∠DCA,DP⊥AC,DH⊥BH,DC为公共边,
∴△DHC≌△DPC,
∴CH = CP.
连接DB,由圆周角定理得∠DAC = ∠DBH,
∵△DHC≌△DPC,
∴DH = DP.
∵DP⊥AC,DH⊥BH,
∴∠DHB = ∠DPA = 90°,
∴△DAP≌△DBH,
∴AP = BH.